На главную страницу НМУ

И.В.Лосев (Ivan Losev)

Отображение моментов (The momentum map)

(Рекомендовано для студентов 4 курса)

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly with some versuions of ghostview)

[Лекция 1 (55K)|Лекция 2 (41K)|Лекция 3 (46K)|Лекция 4 (57K)
Лекция 5 (42K)|Лекция 6 (48K)|Лекция 7 (47K)|Лекция 8 (45K)
Лекция 9 (44K)|Лекция 10 (43K)|Лекция 11 (40K)|Лекция 12 (36K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (55K)|Лекция 2 (41K)|Лекция 3 (46K)|Лекция 4 (57K)
Лекция 5 (42K)|Лекция 6 (48K)|Лекция 7 (47K)|Лекция 8 (45K)
Лекция 9 (44K)|Лекция 10 (44K)|Лекция 11 (40K)|Лекция 12 (36K)]

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (35K)|Zipped postscript (14K)]

Целью данного спецкурса является введение в отображения моментов — важную конструкцию, используемую при изучении действий групп Ли на симплектических многообразиях. том случае связям с геометрической теорией инвариантов. От слушателей требуется знакомство с анализом на многообразиях (векторные поля, дифференциальные формы, производные Ли и т.д.), основами теории групп и алгебр Ли (касательная алгебра группы, действие группы на многообразии, компактные группы Ли), основными понятиями алгебраической геометрии (квазипроективные алгебраические многообразия, их морфизмы).

План

1. Симплектические многообразия: определение и основные примеры. Гамильтоновы векторные поля и скобка Пуассона.
2. Гамильтоновы действия и отображения моментов, основые примеры. Критерии гамильтоновости. Ранг, коранг и дефект действия.
3. Компактные группы Ли и их действия. Однородные расслоения. Теорема о слайсе. Существование стабилизатора общего положения.
4. Локальная структура гамильтоновых действий. Теорема о локальном сечении. Вид стабилизатора обшего положения для гамильтонового действия. Теорема о симплектическом слайсе: модельные многообразия, эквивариантная теорема Дарбу-Вейнстейна.
5. Необходимые сведения из алгебраической геометрии и теории алгебраических групп. Редуктивные алгебраические группы, их структура и представления. Компактная форма. Флаговые многообразия и их вложения в проективные пространства.
6. Категорный фактор и фактор Мамфорда. Теорема Кемпфа-Несс и её приложения к теории инвариантов: критерий Мацусимы аффинности однородного пространства и критерий Луны замкнутости орбиты.
7. Слои отображения моментов, свойство связности. Образ отображения моментов и многогранник Бриона проективного многообразия. $U$-инварианты, теорема о конечной порожденности. Локальное описание многогранника моментов: теорема Сьямара.
8. Ранг и сложность действия редуктивной группы. Орисферические действия и орисферические деформации. Интерпретация ранга и сложности в терминах гамильтонова действия компактной формы. Формулы Панюшева для ранга и сложности однородного пространства.