А.Ю.Пирковский (A.Pirkovski)

Линейный функциональный анализ (Linear functional analysis)

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of Ghostview)

Zipped postscript

Exam

[Gzipped postscript (30K)|Zipped postscript (30K)]

О курсе

Цели

Предполагается рассказать об основных понятиях и теоремах линейного функционального анализа - точнее, теории банаховых пространств и ограниченных линейных операторов. По возможности будет подчеркиваться общекатегорный смысл вводимых понятий и доказываемых утверждений. Общая теория будет сопровождаться должным количеством конкретных примеров.

Требования к подготовке слушателей:

более чем достаточно знаний в объеме стандартных курсов матанализа и линейной алгебры. Желательно (хотя и не обязательно) некоторое знакомство с метрическими пространствами.

Примерная программа курса

Категории и функторы: основные понятия и примеры.
Нормированные пространства и непрерывные линейные операторы. Нормированные пространства. Первоочередные примеры: пространства последовательностей и непрерывных функций. Непрерывные линейные операторы. Непрерывность и ограниченность. Норма оператора и пространство линейных операторов. Основные примеры: диагональные операторы в пространствах последовательностей, операторы умножения и интегральные операторы в функциональных пространствах, операторы сдвига. Категории $\mathcal N\! orm$ и $\mathcal N\! orm_1$. Общие конструкции (подпространства, факторпространства, прямые суммы...)
Специфика бесконечномерного. Компактные метрические пространства (напоминания). Конечномерные пространства: эквивалентность норм. Обилие неэквивалентных норм на бесконечномерных пространствах: примеры. Некомпактность единичного шара в бесконечномерном нормированном пространстве.
Полнота. Полнота; банаховы пространства. Полнота конкретных пространств последовательностей, функций и операторов. Категории $\mathcal Ban$ и $\mathcal Ban_1$. Пополнение и его категорный смысл. Краткое введение в теорию интеграла Лебега: основные определения и факты. Пространства интегрируемых функций. Теорема Бэра. Топологически инъективные и открытые операторы. Теорема Банаха об обратном операторе, ее эквивалентные формулировки и следствия.
Линейные функционалы и двойственность. Полунормы, теорема Хана-Банаха. Сопряженное пространство и сопряженный оператор. Примеры сопряженных пространств. Каноническое вложение во второе сопряженное. Топология, определяемая системой полунорм. Некоторые примеры полинормированных (=локально выпуклых) пространств: пространства непрерывных, дифференцируемых и голоморфных функций; пространства распределений (обобщенных функций). Слабая топология на нормированном пространстве и слабая$^*$ топология на его сопряженном. Аннуляторы; пространство, сопряженное к подпространству и к факторпространству. Банаховы комплексы. Связь точности банахова комплекса с точностью его сопряженного.
Гильбертовы пространства и операторы в них. Скалярное произведение. Геометрические понятия, с ним связанные: ортогональность, неравенство Бесселя, неравенство Коши-Буняковского, тождества параллелограмма и поляризации и т.п. Гильбертово пространство; примеры. Ортогональные разложения. Лемма Рисса (линейные функционалы на гильбертовом пространстве). Ортонормированные базисы. Равенство Парсеваля. Ортогонализация. Теорема Рисса-Фишера. Изоморфизм бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространств. Тригонометрический базис в $L^2(\mathbb T)$. Ряды Фурье. Операторы в гильбертовом пространстве. (Эрмитово) сопряженный оператор. $C^*$-свойство операторной нормы. Ортогональные проекторы. Самосопряженные, нормальные и унитарные операторы; примеры. Унитарная эквивалентность.
Спектр оператора. Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра. Банаховы алгебры: основные примеры. Открытость множества обратимых элементов. Непустота и компактность спектра элемента банаховой алгебры. Причины необратимости оператора и классификация точек его спектра (точеченый, непрерывный, остаточный). Двойственность: спектр сопряженного оператора. Спектр самосопряженного и унитарного оператора. Нахождение спектра конкретных операторов: диагонального, умножения на функцию, сдвига.
Компактные и фредгольмовы операторы. Общие свойства компактных операторов; компактность сопряженного оператора, идеал компактных операторов. Примеры: интегральные операторы, диагональные операторы. Фредгольмовы операторы; индекс. Аддитивность индекса. Альтернатива Фредгольма. Спектр компактного оператора. Диагонализация компактных самосопряженных операторов: теорема Гильберта и ее категорная интерпретация.

Возможные темы для дальнейших обсуждений (на выбор слушателей):

Теплицевы операторы. Пространства Харди. Функциональная модель оператора сдвига и описание его инвариантных подпространств. Теплицевы операторы и их спектральные свойства. Критерий фредгольмовости. Существенный спектр как множество значений символа. Индекс теплицева оператора как индекс вращения кривой, определяемой его символом.
Основные сведения о банаховых алгебрах.
Спектральная теорема для нормального оператора.
Совместный спектр набора коммутирующих операторов (по Тэйлору). Гомологическая интерпретация спектра.