На главную страницу НМУ

Д.А.Звонкин (D.Zvonkine)

Теория функций комплексного переменного (Complex analysis)

(4-ый семестр)

Листки (exercise sheets)

[Листок 1 (27K)|Листок 2 (27K)|Листок 3 (29K)|Листок 4 (26K)|Листок 5 (32K)|Листок 6 (29K)|Листок 7 (29K)|Листок 8 (23K)|Листок 9 (31K)|Листок 10 (23K)]

Postscript

Zipped postscript

[Листок 1 (12K)|Листок 2 (12K)|Листок 3 (13K)|Листок 4 (12K)|Листок 5 (14K)|Листок 6 (13K)|Листок 7 (13K)|Листок 8 (10K)|Листок 9 (14K)|Листок 10 (10K)]

Теоретические вопросы (Theory questions)

[Postscript (23K)|Postscript (10K)]

Экзамен; решения задач экзамена (Exam problems and their solutions)

Postscript

[Problems (29K)|Solutions (64K)]

Zipped postscript

[Problems (13K)|Solutions (26K)]

Программа курса

1. Голоморфные и мероморфные функции и их свойства.

   Разные определения голоморфности и их эквивалентность: степенные ряды, радиус сходимости, формула Коши, конформность, связь с гармоническими функциями.

   Основные теоремы:

   • лемма Шварца;
   • принцип максимума;
   • теорема Лиувилля;
   • радиус сходимости ряда Тэйлора или Лорана равен расстоянию до ближайшей особой точки;
   • аналитическое продолжение вдоль пути;
   • классификация изолированных особенностей;
   • теорема Вейерштрасса;
   • принцип компактности в области на плоскости;
   • теорема униформизации Римана для односвязных областей комплексной плоскости
   (эта теорема была доказана позже, чтобы поскорее перейти от теории к практике).
2. Применения теоремы о вычетах.
   • Оценки, суммирование рядов, вычисление интегралов, подсчёт нулей и полюсов.
   • Построение мероморфной фукции на плоскости с заданными главными частями полюсов в заданных точках, например tg z.
   • Построение и разложение на множители целой функции с заданными нулями, например sin z.
3. Специальные функции.

   Гамма-функция и дзета-функция.

   • преобразование Меллина;
   • доказательство мероморфности на всей комплексной плоскости;
   • функциональное уравнение;
   • числа Бернулли;
   • значения дзета-функции в чётных положительных и целых отрицательных точках;
   • все нули дзета-функции, кроме чётных отрицательных лежат в полосе 0≤Re z≤1;
   • асимптотическое разложение гамма-функции в бесконечности.

   Эллиптические функции:

   • P-функция Вейерштрасса;
   • количество нулей и полюсов в фундаментальном параллелограмме;
   • сумма нулей и полюсов по модулю решётки;
   • все двояко-периодические функции выражаются через функцию Вейерштрасса;
   • эллиптические функции Якоби, применение для решения уравнения маятника.

   Модулярные формы относительно группы SL(2,Z):

   • ряды Эйзенштейна E_k;
   • размерность пространства форм данного веса;
   • любая модулярная форма - многочлен от E_4 и E_6;
   • q-разложение рядов Эйзенштейна;
   • функция j;
   • операторы Гекке;
   • квазимодулярная форма E_2;
   • разложение j на множители;
   • малая теорема Пикара.

   L-функции для характеров по модулю m:

   • ряды Дирихле и их сходимость;
   • определение L-функций;
   • регулярность в s=1;
   • теорема Дирихле о простых числах.
4. Римановы поверхности.
   • Определение;
   • разветвлённые накрытия;
   • теорема Римана о продолжении комплексной структуры в точки ветвления;
   • формула Римана-Гурвица для рода накрытия;
   • почти комплексная структура на гладкой поверхности задаёт структуру римановой поверхности;
   • понятие гармонической функции инвариантно;
   • понятия касательного пространства к комплексному многообразию.

Далее было сформулировано без доказательства несколько фактов:

• классификация односвязных римановых поверхностей;
• на компактной поверхности рода g есть ровно g линейно независимых голоморфных 1-форм;
• на любой римановой поверхности есть много мероморфных функций.

Эти факты использовались для дальнейшего:

• Законы взаимности;
• приведение матрицы периодов к каноническому виду;
• формула Римана-Роха.