На главную страницу НМУ

Дмитрий Рыжов

Ренормализация и универсальность Фейгенбаума

Универсальность Фейгенбаума, обнаруженная в численных экспериментах в конце 1970-х годов --- одно из самых удивительных открытий в теории бифуркаций. Эффект заключается в том, что определённые числовые характеристики в последовательности бифуркаций удвоения периода в однопараметрических семействах оказываются не зависящими от выбора конкретного семейства (и, тем самым, являются универсальными константами). Объяснение эффекта, предложенное вскоре после открытия, основано на известном в статистической механике методе ренормгруппы. Однако долгое время имелось лишь "computer assisted"-доказательство. Другое доказательство, полученное Д. Салливаном, К. МакМюлленом и М. Любичем в конце 1990-х, опиралось на использование техники комплексного анализа. Использованные методы позволили найти связь с фундаментальными проблемами теории динамических систем и в некоторых случаях решить их.

Лекции (Lectures).pdf

[Курс лекций.rar]

[Лекция 1.pdf |Лекция 2.pdf |Лекция 3.pdf |Лекция 4.pdf |Лекция 5.pdf ]
[Лекция 6.pdf |Лекция 7.pdf |Лекция 8.pdf |Лекция 9.pdf |Лекция 10.pdf ]

Листки (Exercise sheets).pdf

[Листок 1.pdf |Листок 2.pdf |Листок 4.pdf |Листок 5.pdf ]

Экзамен.pdf

Срок сдачи экзамена - 30 апреля 2011 года.

[Exam.pdf ]

Примерная программа:

  1. Понятие универсальности.
    Бифуркация удвоения периода и потеря устойчивости автоколебаний. Последовательность бифуркаций удвоения периода как способ перехода от «порядка» к «хаосу». Явление универсальности. [1,2,3]

  2. Вещественные методы.
    Гиперболичность. Теорема Адамара-Перрона (формулировка). SRB-меры. Порядок Шарковского. [3,4]

  3. Ренормализация, часть 1.
    Ренормализация. Схема применения вещественных методов для доказательства свойства универсальности: существование и гиперболичность решения уравнения Фейгенбаума-Цвитановича. Свойства аттрактора Фейгенбаума. Бесконечно ренормализуемые отображения. Дихотомия регулярность/стохастичность для квадратичного семейства. Гипотеза Палиса*. [4,5,9]

  4. Комплексные методы.
    Необходимые факты из комплексного анализа (обзор): метрика Пуанкаре, компактность и нормальные семейства, теорема Монтеля, лемма Шварца, принцип аргумента, теорема Кебе об искажениях, квазиконформные отображения. Фату и Жюлиа: динамика на комплексной сфере. [6,7]

  5. Ренормализация, часть 2.
    Полиномиально-подобные отображения. Схема применения комплексных методов для доказательства свойства универсальности. Априорные оценки модулей кольцевых областей*. Структура слоения пространства квадратично-подобных отображений*. Паззлы и бесконечная ренормализуемость*. [5,6,7,8,10]

Для понимания первой части курса (п.1-3) желательно, чтобы слушатель был знаком с базовыми понятиями теории динамических систем. Для понимания второй части курса (п.4-5) необходимо знакомство с основами комплексного анализа. (Таким образом, второкурсники, изучающие комплексный анализ, успеют освоить нужные вопросы к нужному времени.) Все необходимые факты и определения будут напомнены. Пункты, отмеченные звездочкой, будут рассказаны в зависимости от наличия времени.

Список литературы.

[1] В. И. Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., МЦНМО (1999).
[2] R. M. May. Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics. Nature 261 (1976), 459-467.
[3] А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. М., Факториал (2000).
[4] Е. Б. Вул, Я. Г. Синай, К. М. Ханин. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм. УМН, 39:3, 237 (1984), 3-37.
[5] M. Lyubich. The Quadratic Family as a Qualitatively Solvable Model of Chaos. Notices of the AMS, 47:9 (2000), 1042-1052.
[6] Джон Милнор. Голоморфная динамика. Ижевск (2000).
[7] C. T. McMullen. Complex Dynamics and Renormalization. The Annals of Mathematical Studies (1996).
[8] D. Sullivan. Bounds, quadratic differentials, and renormalization conjectures. AMS Centennial Publications, Vol.II (Providence, RI, 1992), 417-466.
[9] J. Palis. A global perspective for non-conservative dynamics dynamics. Ann. I. H. Poincar? ? AN 22 (2005), 485-507.
[10] M. Lyubich. Feigenbaum-Coullet-Tresser Universality and Milnor?s Hairiness Conjecture, Annals of Mathematics, 149 (1999), 319-420.

[**] http://ru.wikipedia.org/wiki/Универсальность_Фейгенбаума

Rambler's Top100