На главную страницу НМУ

Ю.М.Бурман (Yu.Burman)

Геометрия многообразий и расслоений (1 курс) (Geometry of manifiolds and bundles, 1st year, lectures)

Lecture notes

Postscript

[Лекция 1 (59K)|Лекция 2 (69K)|Лекция 3 (66K)|Лекция 4 (67K)
Лекция 5 (59K)|Лекция 6 (75K)|Лекция 7 (50K)|Лекция 8 (72K)
Лекция 9 (64K)|Лекция 10 (51K)|Лекция 11 (56K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (19K)|Лекция 2 (23K)|Лекция 3 (23K)|Лекция 4 (24K)
Лекция 5 (21K)|Лекция 6 (25K)|Лекция 7 (18K)|Лекция 8 (24K)
Лекция 9 (22K)|Лекция 10 (18K)|Лекция 11 (20K)]

Экзамен (Exam)

[Postscript (33K)|Zipped postscript (13K)]

Повторный экзамен (Second exam)

[Postscript (36K)|Zipped postscript (15K)]

Повторный экзамен: ответы и указания (Second exam: answers and hints)

[Postscript (34K)|Zipped postscript (14K)]

See also exercises.

Программа

Значительная часть курса --- разнообразные определения. Нужно хорошо знать определения следующих понятий:

1. Многообразие (с краем и без края).
2. Гладкое отображение.
3. Касательное пространство.
4. Производная гладкого отображения.
5. Базисы d/dx_i и dx_i.
6. Векторное расслоение (обычное и ориентированное), функции перехода.
7. Морфизм расслоений, тривиальное расслоение.
8. Двойственное расслоение.
9. Векторное поле.
10. Интегральная кривая векторного поля.
11. Коммутатор векторных полей.
12. 1-форма.
13. Обратный образ формы.
14. Дифференциал функции. Точная 1-форма.
15. Замкнутая 1-форма.
16. Интеграл от 1-формы по одномерному ориентированному многообразию.

Некоторые из этих понятий имеют несколько определений. В этом случае нужно знать все определения и уметь доказывать их эквивалентность. Особенно это относится к пп. 3 (определение через кривые и через алгебру функций), 9 (векторное поле это сечение касательного расслоения и дифференцирование алгебры гладких функций), 11 (алгебраическое и геометрическое описание коммутатора).

Координаты

Многообразие --- это то место, где есть координаты. Все объекты, упомянутые в разделе "Определения" (производную отображения, дифференциал функции, интеграл формы и т.п.), нужно уметь записывать в координатах. Нужно также знать "координатные" критерии замкнутости формы и т.п.

Примеры

Предполагается знакомство с основными примерами из курса. Все их перечислить затруднительно; скажем, нужно уметь приводить пример неориентируемого расслоения, замкнутой, но не точной 1-формы, и тому подобное.

Основные утверждения

В большинстве теорем курса утверждается эквивалентность каких-то определений --- такие теоремы уже включены в раздел "Определения". Кроме них, нужно уметь доказывать следующие утверждения (все они доказывались на лекциях и имеются в конспектах):

1. Подножество I_a в Func(M) является максимальным идеалом.
2. Если M компактно, то каждый максимальный идеал в Func(M) есть I_a.
3. Лемма Адамара.
4. Слой расслоения, сопряженного к V, --- пространство, сопряженное слою расслоения V.
5. [X,fY]=f[X,Y]+X(f)Y.
6. Определение интеграла 1-формы по многообразию корректно.
7. Интеграл от 1-формы по кривой не меняется при деформации кривой тогда и только тогда, когда форма замкнута.
8. X(<m,Y>)-Y(<m,X>)=<m,[X,Y]> тогда и только тогда, когда форма m замкнута.

Эрудиция

Всякая эрудиция приветствуется! Существует много понятий и фактов, которые должны бы присутствовать в курсе, но не вошли в него по недостатку времени и сил. К ним относятся теорема о неявной функции (она разбиралась в курсе анализа; полезно подумать, что она означает на языке теории многообразий), понятие тензорного и внешнего произведения расслоений (определяются по аналогии с двойственным расслоением, только вместо сопряжения нужно брать тензорное или внешнее произведение функций перехода), теорема Стокса и другие вопросы. Проявивший значительную эрудицию может получить зачет с отличием.