В осеннем семестре 2008 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
| Осень, 2000 | Весна, 2001 | Осень, 2001 | Весна, 2002 | Осень, 2002 |
| Весна, 2003 | Осень, 2003 | Весна, 2004 | Осень, 2004 | Весна, 2005 |
| Осень, 2005 | Весна, 2006 | Осень, 2006 | Весна, 2007 | Осень, 2007 |
| Весна, 2008 |
Пятница, 26 декабря 2008, 17.00, ауд. 206
Отображение-пентаграмма определено на пространстве полигонов на (проективной) плоскости: образ полигона - выпукаля оболочка точек пересечения коротких диагоналей. Мы построим скобки Пуассона на пространстве полигонов и покажем интегрируемость этого отображения в классическом смысле Арнольда-Лиувилля. (Доклад основан на совместной работе с С.Табачниковым и Р.Шварцом).
Пятница, 19 декабря 2008, 17.00, ауд. 206
Комплексный тор $(C^*)^n$ - некомпактное алгебраическое многообразие. Теорема Бернштейна-Кушниренко вычитает число решений в $(C^*)^n$ общей системы из $n$ уравнений с заданными многогранниками Ньютона. Эта теорема подсказывает вариант обобщения теории пересечений. В докладе будет рассказано о построении такого варианта.
Пятница, 12 декабря 2008, 17.00, ауд. 206
Более ста лет назад Пуанкаре и Стеклов рассмотрели краевые задачи со спектральным параметром в граничных условиях. Одна из таких задач возникает при обосновании и оптимизации метода разделения области, а также в примитивной модели нефтедобычи.
В соседних областях нужно найти две гармонические функции, зануляющиеся на внешней части границы. На границе раздела функции совпадают, а их нормальные производные связаны через спектральный параметр. В докладе будет разобран пример явного решения интегрального уравнения, обслуживающего эту задачу.
Пятница, 5 декабря 2008, 17.00, ауд. 206
Доклад посвящен обзору результатов по классификации интегрируемых уравнений (в частности и некоммутативных) типа уравнения KdV. Кроме того, будут обсуждаться некоммутативные интегрируемые ОДУ.
Пятница, 28 ноября 2008, 17.00, ауд. 206
Пусть $V$ --- векторное пространство с симплектической формой, $G$ --- конечная группа, действующая на $V$ симплектическими преобразованиями. Рассмотрим сплетённое произведение $G\sharp V$ --- некоммутативную алгебру, составленную произведениями $g P$, где $g \in G$, а $P$ --- многочлен на $V$, с умножением $(g P) \cdot (h Q) = gh P^h Q$, где $P^h$ --- результат действия $h$ на $P$ заменой переменных.
В докладе будет описано универсальное семейство деформаций этой алгебры в классе ассоциативных алгебр. Оказывается, что существенную роль в такой деформации играют только элементы группы, являющиеся симплектическими (кватернионными) отражениями. Будет показано, как деформированная алгебра связана с двойными аффинными алгебрами Гекке и препроективными алгебрами колчанов.
Пятница, 21 ноября 2008, 17.00, ауд. 206
Методы теории интегрируемых систем применяются к исследованию геометрии пространства модулей римановых поверхностей, в частности к вопросу о существовании нетривиальных коциклов определенных размерностей.
Пятница, 14 ноября 2008, 17.00, ауд. 206
Будет воспроизведена конструкция Хитчина, в простейшем случае интерпретирующая кубические кривые, линейно зависящие от параметра, в терминах эллиптических кривых, и будет объяснена связь этой конструкции с поризмом Понселе. Будет рассказано о приложениях к квазиоднородным трёхмерным многообразиям, детским рисункам и алгебраическим решениям уравнения Пенлеве-6.
Пятница, 7 ноября 2008, 17.00, ауд. 206
В 2001 г. Кричевер нашел общее описание операторов Лакса со спектральным параметром на римановой поверхности в терминах параметров Тюрина. Исходя из него он доказал существование и гамильтоновость интегрируемых иерархий лаксовых уравнений, и дал явную конструкцию соответствующих гамильтонианов. В частности, совместно с Фонгом, он построил универсальную симплектическую структуру для лаксовых уравнений указанного класса. Частными случаями его конструкций являются гамильтонианы Хитчина, эллиптическая система Калоджеро-Мозера и другие. В 2006 г. в нашей совместной работе было обнаружено, что эти операторы Лакса образуют алгебру Ли, и были построены ее аналоги, образованные операторами Лакса со значениями в классических алгебрах Ли. Конструкция интегрируемых иерархий и гамильтонова теория выдерживают обобщение на эти новые операторы Лакса, и в симплектическом случае дают, по-видимому новую, интегрируемую систему, похожую на эллиптическую систему Калоджеро-Мозера. Вероятно, это только начало, имеется много открытых задач.
В докладе будут сформулированы основные понятия и утверждения этой теории. Его можно рассматривать как анонс спецкурса для студентов начиная с 3 курса, который автор собирается прочитать в НМУ в следующем семестре.
Пятница, 31 октября 2008, 17.00, ауд. 206
Пятница, 24 октября 2008, 17.00, ауд. 206
The periodic problem for the Kortveg-deVriez equation, the cubic nonlinear Schrodinger equation and the like can be solved by methods of algebraic geometry. At the same time these equations can be formulated as Hamiltonian systems in many ways. This talk describes new parametrization of the phase space of mechanical systems in terms of Hurwitz space (spectral curve + Weil function). We propose simple algebraic geometrical formula which produce a family of compatible Poisson brackets. Known solutions of the Yang-Baxter equation come out as a particular cases of this construction.
Пятница, 17 октября 2008, 17.00, ауд. 206
Рассмотрим алгебру Ли $L_1$ формальных векторных полей на вещественной прямой ${\mathbb R}^1$, обращающихся в ноль вместе с первой производной в начале координат. Бухштабер и Шокуров показали, что универсальная обертывающая $U(L_1)$ изоморфна тензорному произведению алгебру Ландвебера--Новикова на поле вещественных чисел.
Гончарова вычислила когомологии $H^*(L_1)=H^*(U(L_1))$, оказалось, что у $H^*(L_1)$ умножение тривиально.
Бухштабер выдвинул гипотезу, что когомологии $H^*(L_1)$ порождаются нетривиальными произведениями Масси, начиная с двух одномерных классов.
Фейгин, Фукс и Ретах представили $H^*(L_1)$ с помощью тривиальных произведений Масси.
В докладе будет показано, что $H^*(L_1)$ все же порождается с помощью нетривиальных произведений Масси.
Пятница, 10 октября 2008, 17.00, ауд. 206
Доклад посвящен введенным автором полиномиально зависимым гомоморфизмам — специальным линейным отображениям между ассоциативными алгебрами с единицей, в определении которых существенно используется мультипликативная структура (при этом та алгебра, в которую направлена стрелка отображения, должна быть коммутативной). Важнейшим частным случаем данных отображений являются n-гомоморфизмы Фробениуса (которым будет уделено больше всего внимания в докладе), введенные В.М.Бухштабером и Э.Рисом в 1996-1997 гг. 1-гомоморфизм — это то же самое, что и гомоморфизм алгебр. Типичным примером n-гомоморфизма является сумма n штук гомоморфизмов алгебр между двумя фиксированными алгебрами. Другим примером служит след n×n матриц над полем R нулевой характеристики, и, более общо, характер любого линейного n-мерного представления.
В этой статье автор выводит свойства n-гомоморфизмов (некоторые из которых были при дополнительных ограничениях доказаны ранее Бухштабером и Рисом) и разрабатывает общую теорию полиномиально зависимых гомоморфизмов.
В качестве топологического приложения n-гомоморфизмов будет рассмотрена теория n-гомоморфизмов между коммутативными C^*-алгебрами с единицей. Будет дано описание структуры таких n-гомоморфизмов, обобщающей классический изоморфизм Гельфанда (случай n=1).
Пятница, 3 октября 2008, 17.00, ауд. 206
Рассмотрим расслоение Ходжа над пространством стабильных кривых. Формула Мамфорда выражает характеры Черна этого расслоения через классы граничных дивизоров и psi-классы. Гивенталь показал, что в его формализме квантования формула Мамфорда записывается удивительно кратко.
Мы проведём аналогичную конструкцию над пространством *r*-спин структур. Роль расслоения Ходжа будет играть прямой образ спинорного расслоения. Вместо чисел Бернулли, стоящих в формуле Мамфорда, у нас появляются значения полиномов Бернулли в рациональных точках со знаменателем *r*.
Пятница, 26 сентября 2008, 17.00, ауд. 206
Будет рассказано доказательство следующей теоремы, недавно полученной докладчиком. Комплексная алгебраическая функция на комплексификации вещественной алгебраической кривой эквивалентна вещественной алгебраической функции, если и только если дивизор ее критических точек инвариантен относительно инволюции комплексного сопряжения на кривой.
Пятница, 19 сентября 2008, 17.00, ауд. 206
Зафиксируем натуральные числа g (род) и n (число листов накрытия), а также разбиение l = (l_1, \dots, l_s) числа n. Производящей функцией Гурвица H_{g,n,l}(w) называется сумма мономов вида w_{i_1 j_1} ... w_{i_m j_m}, где m = 2g-2+n+s, а индексы таковы, что перестановка (i_1 j_1) ... (i_m j_m) множества {1,2,...,n} имеет циклический тип l. Значение H_{g,n,l}(1)/n! равно числу Гурвица --- числу классов эквивиалентности n-листных разветвленных накрытий сферы поверхностью рода g, имеющих одну критическую точку структуры l и (m-1) простых критических точек.
В частном случае, когда разбиение l содержит только одну часть, производящая функция Гурвица может быть задана явной формулой, доказательство которой мы обсудим. Эта формула позволяет, в частности, явно вычислить количество классов гомотопии одногранных вложений произвольного графа в поверхность, то есть таких вложений, что после удаления графа из поверхности получается диск.
Доклад основан на совместной работе Д.А.Звонкина и докладчика.
Пятница, 12 сентября 2008, 17.00, ауд. 206
Я собираюсь сделать общее введение в резольвенты операд и индуцированные операции на подкомплексах. В качестве примера я буду обсуждать классические операды Com, Lee и Ass, и их закрученные аналоги. Если позволит время, мы рассмотрим некоторые приложения этих конструкций.
