С.Горчинский, М.Мазо (S.Gorchinskiy, M.Mazo)

Просеминар по теории чисел (для младших курсов) (Introduction to number theory)

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of ghotview)

Zipped postscript

Листки (Exercise sheets)

Gzipped postscript (may be viewed directly by some versions of ghotview)

Zipped postscript

Экзамен (Exam)

[Postscript (41K)|Zipped postscript (16K)]

В данном курсе мы бы хотели показать как можно больше известных нам идей и конструкций в (алгебраической) теории чисел и диофантовой геометрии. Мы хотим постараться сделать их изложение как можно более простым и, по возможности, доступным даже первокурсникам, уже знающим немного алгебру. Это еще далеко не последняя версия программы. В данном варианте предполагаемое содержание разбито на большие тематические куски, которые мы собираемся рассказывать в другом порядке и в более перемешанном виде. В конце каждого из кусков приводится список литературы, которым мы предполагаем пользоваться, помимо собственных знаний. Так как матерал очень велик, мы бы хотели чтобы курс проходил в форме лекций и семинаров. Тогда часть его может быть рассказана у доски, а часть решена самими слушателями.

Программа

Теория Галуа

Расширения полей, группы автоморфизмов, разные определения расширений Галуа.
След и норма Галуа.
Приложения: построения циркулем и линейкой (многоугольников, квадратура круга и т.д.), решение уравнений в радикалах.
Теории Куммера и Артина-Шрейера.

Литература:

Ленг "Алгебра", Винберг "Курс алгебры"

Алгебраическая геометрия

Аффинные и проективные многообразия, теорема Гильберта о нулях, виды морфизмов многообразий (конечные, доминантные, (би)рациональные,...), локальные свойства, размерность.
Кривые, степень, род, дивизоры, теорема Римана-Роха (б/д), эллиптические кривые (два способа определения закона сложения), теорема Морделла-Вейля (б/д).
Спектры колец, элементарные сведения из коммутативной алгебры, примеры параллельных геометрических соображений и алгебраических рассуждений.
Теория пересечений на поверхности (не в полной строгости).

Литература:

Шафаревич "Основы алгебраической геометрии", курс Ф.Л.Зака в НМУ, Хартсхорн "Алгебраическая геометрия", Мамфорд "Лекции о кривых на алгебраической поверхности".

Конечные поля

Мультипликативная группа.
Конечные расширения, отображение Фробениуса.

Литература:

Ленг "Алгебра"

Локальные поля

Кольца дискретного нормирования, примеры (геометрический и числовой случаи), пополнения, локальные поля, лемма Гензеля, представители Тейхмюллера.
Конечные расширения, ветвление (n=ef).
Группа Галуа и ее подгруппы (инерции, разложения), отображения Фробениуса.

Глобальные поля

Нормирования, их продолжение, формула произведения, соответствие неархимедовых нормирований простым идеалам.
Дедекиндовы кольца и их целые расширения, группа классов идеалов.
Разложения простых идеалов при расширении, ветвление, дифферента, дискриминант, геометрические пояснения.
Отображение Фробениуса, аналог простых чисел с окружностями в трехмерной сфере.
Геометрическое изображение чисел (регуляторное отображение), равносильное определение дискриминанта, теорема Дирихле о единицах.
Дзета-функция Дедекинда, ее свойства, обобщенная гипотеза Римана.
Примеры к общей теории: квадратичные поля, круговые поля, квадратичный закон взаимности, символ Гильберта, теорема Минковского-Хассе(б/д), локально-глобальный принцип, классификация квадратичных форм над рациональными числами, уравнения Пелля.

Литература по последним двум пунктам:

Серр "Курс арифметики", Ленг "Алгебраические числа", Касселс-Фрелих "Алгебраическая теория чисел", книга Панчишкина и Манина.

Многообразия над конечными полями

Классификация квадрик над конечными полями.
Морфизм Фробениуса, его неподвижные точки.
Дзета-фукция Вейля для кривой, вывод функционального уравнения из теории пересечений на поверхности.
Дзета-фукция Вейля произволного проективного многообразия над конечным полем, вывод функционального уравнения из существования этальных l-адических когомологий и формулы Пикара-Лефшеца для них (без подробного разбора).

Литература:

Шафаревич "Дзета-функция", курс Цфасмана в НМУ.

Если останется время, то еще:

Адели и идели, их основные свойства, вывод конечности группы классов(без доказательства части технических утверждений), доказательство теоремы Дирихле о единицах.
Вывод по Тейту функционального уравнения для дзета- фунции Дедекинда.
Некоторые идеи глобальной теории полей класов, формулировка осоновных утверждений (формула произведения, теорема существования), вывод теоремы Кронекера-Вебера.