А.Ю.Пирковский (A.Pirkovski)

Спектральная теория и функциональные исчисления для линейных операторов (Spectral theory for linear operators)

Записки лекций (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewwed directly by some versions of ghostview)

Zipped postscript

Booklet based on the lecture notes

[Gzipped postscript (503K)|Zipped postscript (503K)]

Цели

Предполагается рассказать об основных понятиях спектральной теории линейных операторов в банаховом пространстве, делая (по возможности) акцент на алгебраических аспектах теории.

Требования к подготовке слушателей:

по-видимому, более или менее достаточно базовых сведений из алгебры (конечномерные линейные пространства и операторы в них), ТФКП (основные свойства аналитических функций, степенные ряды). Также желательно некоторое знакомство с основными понятиями функционального анализа: нормированными пространствами, линейными операторами и т.п. (например, в объеме прошлогоднего курса). Впрочем, все необходимые сведения будут напоминаться по ходу дела.

Примерная программа курса

Общие свойства спектра.: Спектр элемента алгебры. Алгебраические свойства спектра. Банаховы алгебры: основные примеры и конструкции. Непустота и компактность спектра элемента банаховой алгебры. Теорема Гельфанда-Мазура. Причины необратимости оператора и части его спектра (точечный, непрерывный, остаточный, аппрокимативный точечный\dots). Двойственность: спектр сопряженного оператора. Нахождение спектра конкретных операторов: диагонального, умножения на функцию, сдвига.
Голоморфное функциональное исчисление.: Интегрирование вектор-функций. Теорема Гельфанда о существовании голоморфного функционального исчисления в окрестности спектра. Единственность голоморфного исчисления. Теорема об отображении спектра.
Алгебраические переформулировки: полученных результатов. Линейные операторы как модули над алгеброй многочленов и линейные ограниченные операторы как банаховы модули над алгеброй целых функций. Пространство максимальных идеалов как ``место обитания'' спектра оператора. Теоретико-кольцевые формулировки теорем об отображении спектра. Задача о функциональном исчислении. \item \textbf{$C^*$-алгебры, операторы в гильбертовом пространстве и непрерывное исчисление.} Геометрия гильбертова пространства (основные факты). Операторы в гильбертовом пространстве. Некоторые сведения о $C^*$-алгебрах. Спектр самосопряженного и унитарного элемента. Преобразование Гельфанда коммутативной банаховой алгебры. Первая теорема Гельфанда-Наймарка. Непрерывное функциональное исчисление от нормального элемента. Теорема об отображении спектра. Непрерывное исчисление от \лк конкретных\пк\ операторов.
Компактные и фредгольмовы операторы.: Общие свойства компактных операторов; компактность сопряженного оператора, идеал компактных операторов. Примеры: интегральные операторы, диагональные операторы. Фредгольмовы операторы; индекс. Аддитивность индекса. Альтернатива Фредгольма. Спектр компактного оператора. Характеризация фредгольмовых операторов. Алгебра Калкина. Существенный спектр. Пример: оператор сдвига. Диагонализация компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.
Спектральная теорема и борелевское исчисление.: Спектральные меры. Описание представлений коммутативных $C^*$-алгебр. Спектральная теорема для самосопряженного оператора в терминах разложения единицы. Разложение единицы для конкретных операторов: проектора, диагонального, умножения на функцию. Борелевское функциональное исчисление. Описание частей спектра (непрерывного, точечного, существенного) через разложение единицы. Спектральная теорема в терминах оператора умножения.

Дальнейшие темы --- на выбор слушателей:

Совместный спектр Тэйлора и голоморфное исчисление от набора коммутирующих операторов: Полинормированные (=локально выпуклые) пространства, пространства Фреше, алгебры и модули Фреше. Проективное тензорное произведение локлаьно выпуклых пространств. Элементы гомологической алгебры (алгебраический и функционально-аналитический варианты): комплексы, гомологии, проективные модули и проективные резольвенты, функтор Tor. Резольвента Кошуля для алгебры многочленов и для алгебры целых функций. Интерпретация спектра оператора в терминах функтора Tor. Совместный спектр Тэйлора и примеры его нахождения. Параметризованные банаховы комплексы: открытость "множества точности". Комплекс Чеха и построение голоморфного исчисления на совместном спектре.
Элементы локальной спектральной теории.: Основные сведения о пучках. Пучки Фреше; примеры. Пучковая модель оператора. Конечномерный случай. Пучковые модели для "конкретных" операторов. Свойство однозначности продолжения (SVEP) и свойство "бета" Бишопа. Примеры и контрпримеры. Каноническая пучковая модель оператора со свойством "бета". Локальный спектр и его нахождение для конкретных операторов. Локальный спектр как носитель сечения канонической пучковой модели. Локальные спектральные подпространства и их свойства. Описание локальных спектральных подпространств оператора со свойством "бета" в пучковых терминах. Квазикогерентные пучки Фреше. Эквивалентность свойства "бета" линейного оператора и квазикогерентности его пучковой модели. Мягкие пучки. Разложимые операторы. Эквивалентность разложимости оператора и мягкости его пучковой модели.