В осеннем семестре 2010 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
Пятница, 24 декабря 2010, 17:00, ауд. 206
Краткое содержание:
I will recall the construction of cluster algebras from triangulated bordered surfaces with marked points (by Fock-Goncharov, Fomin-Shapiro-Thurston), and discuss a generalization of this construction to a larger class of algebras arising from hyperbolic orbifolds with conic singularities of angle $\pi$.
Пятница, 17 декабря 2010, 17:00, ауд. 206
Краткое содержание:
В докладе будет дано определение алгеброида Ли над
пространством бесконечных струй сечений векторного расслоения над гладким многообразием. Новое определение является нетривиальным обобщением
классического, для обычных многообразий, поскольку над пространствами струй последнее попросту исчезает --- его наиболее существенная аксиома, правило Лейбница, теряет силу. Кроме того, будет сформулировано определение "вариационных алгеброидов Ли" в терминах нечётных (гомологических) эволюционных векторных полей на некоторых супер-расслоениях струй, а затем доказана эквивалентность двух формулировок. Мы увидим, что в по-новому понятой картине становится возможным не только воспроизвести в большей общности стандартную конструкцию Вайнтроба (1997), но и по возможности полно отразить геометрию струнной модели, изученной Александровым, Заборонским, Концевичем и Шварцем (1997) методами теории гладких (супер-)многообразий. На протяжении доклада основным мотивирующим --- причём минимально возможным нетривиальным --- примером будет, как водится, вторая гамильтонова структура для уравнения КдФ (хотя докладчик подошёл к обсуждаемой задаче в цикле работ 2003-2010 гг. со стороны двумерных систем Тоды). Доклад следует препринту 1006.4227v2(math.DG), совместному с Й.ван де Лёром.
Пятница, 3 декабря 2010, 17:00, ауд. 206
Краткое содержание:
Хорошо известно, что над алгебраически замкнутым полем неразложимое
главнополяризованное абелево многообразие размерности три изоморфно
якобиану гладкой проективное кривой. Случай, когда поле не является
алгебраически замкнутым значительно сложнее. Используя модулярные
формы на пространствах модулей абелевых многообразий и кривых, мы
приводим критерий, позволяющий определить, когда над заданным не
алгебраически замкнутым полем характеристики ноль трехмерное
главнополяризованное абелево многообразие является якобианом. Это дает
ответ на вопрос Ж.-П. Серра. Мы также расскажем о приложении этого
результата к вопросу о максимальном числе точек на кривых над
конечными полями. Доклад основан на совместной работе с G. Lachaud и
C. Ritzenthaler.
Пятница, 26 ноября 2010, 17:00, ауд. 206
Краткое содержание:
W doklade budet rasskazano o teoretiko-predstawlencheskoi
interpretazii AGT i o tom kak ee dokaziwat.W ideale doklad dolzen bi
bit prodolzeniem moego prediduschego i Shakirowskogo -no
w realnosti konechno xotia bi otchasti nado budet nachat snachala...
Пятница, 19 ноября 2010, 17:00, ауд. 206
Краткое содержание:
В докладе будет рассказано, что из себя представляет
$A_{\infty}$-категория Фукаи симплектического многообразия и
как ее математически строго определять.
Пятница, 12 ноября 2010, 17:30, ауд. 206
Краткое содержание:
В конце 1950х годов В.А.Рохлин и А.С.Шварц и, независимо, Р.Том
доказали инвариантность рациональных классов Понтрягина многообразий
относительно кусочно линейных гомеоморфизмов и дали определение
рациональных классов Понтрягина кусочно линейных многообразий.
Естественной задачей является задача о прямом комбинаторном вычислении
рациональных классов Понтрягина кусочно линейного многообразия по его
триангуляции.
Различные подходы к этой задаче были предложены в работах
А.М.Габриэлова, И.М.Гельфанда и М.В.Лосика (1975), Дж. Чигера (1983),
И.М.Гельфанда и Р.МакФерсона (1992), однако ни один из них не привел к
полностью комбинаторной формуле.
В докладе будет рассказано о развитом докладчиком подходе к вычислению рациональных классов Понтрягина триангулированных многообразий, основанном на понятии универсальной локальной формулы. Особое внимание будет уделено явной комбинаторной формуле для первого класса Понтрягина, а также связи задачи о комбинаторном вычислении классов Понтрягина с проблемой Стинрода о реализации циклов.
Пятница, 29 октября 2010, 17:00, ауд. 206
Краткое содержание:
Будет рассказано о когомологиях широкого класса разветвленных накрытий
топологических пространств, так называемых разветвленных накрытий по
Дольду-Смиту. Этот класс включает в себя неособые (неразветвленные)
конечнолистные накрытия и обычные разветвленные накрытия в теории
гладких многообразий. Для всякого n-листного разветвленного накрытия
по Дольду-Смиту рациональные когомологии базы мономорфно отображаются
в рациональные когомологии тотального пространства. Главным
результатом, о котором будет говориться, является нижняя оценка на
сложность умножения в когомологиях базы разветвленного накрытия,
выраженная в терминах сложности умножения в когомологиях тотального
пространства и числа листов n. Основным техническим средством, которое
мы используем, является обобщение на случай градуированных алгебр
теории В.М.Бухштабера-Э.Г.Риса n-гомоморфизмов Фробениуса.
Пятница, 22 октября 2010, 17:00, ауд. 206
Краткое содержание:
В результате недавних исследований Алдая, Гайотто и Тачикавы
(AGT) вскрылась взаимосвязь между несколькими, на первый взгляд
несвязанными, темами в современной математике. Первая из них - это
конформные корреляторы на произвольной римановой поверхности с отмеченными
точками. Вторая - интегралы по линейным пространствам матриц, известные как
матричные модели. Третья - beta-деформированная теория представлений группы
GL(N), ключевую роль в которой играют так называемые полиномы Джека. Мы
попробуем рассказать обо всех этих темах по-отдельности и о (чрезвычайно
интересной, но пока все еще строго недоказанной) взаимосвязи между ними.
15 октября заседания семинара не будет.
Пятница, 8 октября 2010, 16.30, ауд. 206
Краткое содержание:
Б. Риман изучал алгебраические кривые, рассматривая разветвленные накрытия проективной прямой (т.н. "римановы поверхности".) Одним из классических подходов итальянской школы к изучению алгебраических поверхностей состоял в рассмотрении разветвленных накрытий проективной плоскости. Кривые ветвления таких накрытий обычно особы, но "в общем положении" имеют только двойные и каспидальные особые точки. Мы называем такие кривые нодально-каспидальными.
Возникают два вопроса:
(1) какие нодально-каспидальныe плоские кривые могут быть кривыми ветвления разветвленных накрытий плоскости?
(2) сколько разных поверхностей (и отображений) могут иметь одну и ту же кривую ветвления?
Б. Сегре и Зарисский начали с изучения случая кубических поверхностей, который уже нетривиален и приводит к очень неожиданным результатам. Сегре дал частичный ответ на первый вопрос: он дал очень красивое геометрическое описание кривых ветвления *гладких поверхностей в P^3*. (Докладчик с соавторами недавно предложили обобщение теоремы Сегре, но оно, к сожалению, не так красиво, как результат самого Сегре.)
Изучая второй вопрос, Кизини выдвинул следующую гипотезу: он предположил, что проективная поверхность достаточно высокой степени (5 или больше) однозначно восстанавливается по любой своей кривой ветвления, вместе с проекцией! это утверждение совершенно противоположно случаю разветвленных накрытий в размерности один. Виктор Куликов доказал этот результат около десяти лет назад, но его доказательство "не объясняет" результат; (работы Сегре дают очень красивое доказательство, но только в очень частном случае.)
Если останется время, я также расскажу немного о фундаментальных группах дополнений к нодально-каспидальным кривым и их представлениях в симметрическую группу.
Пятница, 1 октября 2010, 17.00, ауд. 206
Подалгебры Годена образуют семейство абелевых подалгебр в алгебре Ли Коно-Дринфельда t_n (известной также как алгебра Ли группы кос), параметризованное наборами из n попарно различных комплексных чисел. У алгебры t_n есть представление квадратичными элементами универсальной обертывающей агебры Ли gl_n, в котором подалгебры Годена переходят в квадратичные части максимальных коммутативных подалгебр сдвига аргумента (Мищенко-Фоменко) в U(gl_n).
В статье показано, что замыкание семейства подалгебр Годена есть пространство модулей стабильных рациональных кривых с отмеченными точками (в частности, так же описывается замыкание семейства подалгебр сдвига аргумента для gl_n). Таким образом, подалгебры Годена образуют векторное расслоение над пространством модулей стабильных рациональных кривых. В статье это расслоение охарактеризовано как расслоение скрученных дифференциальных операторов первого порядка и дано геометрическое описание спектров подалгебры Годена в конечномерных представлениях алгебры Коно-Дринфельда (в частности, спектров подалгебр Мищенко-Фоменко в конечномерных представлениях алгебры Ли gl_n). (Cтатья http://arxiv.org/abs/1004.3253 by Leonardo Aguirre, Giovanni Felder, Alexander P. Veselov)
