На главную страницу НМУ

Ю.М.Бурман (Yu.Burman)

Анализ, семестр 2 (Calculus, 1st year)

Лекции (Lecture notes)

Gzipped postscript (may be viewed directly by modern versions of Ghostview)

[Лекция 1 (27K)|Лекция 2 (25K)|Лекция 3 (27K)|Лекция 4 (28K)
Лекция 5 (22K)|Лекция 6 (26K)|Лекция 7 (25K)|Лекция 8 (24K)
Лекция 9 (28K)|Лекция 10 (27K)|Лекция 11 (26K)|Лекция 12 (26K)]

Zipped postscript

[Лекция 1 (27K)|Лекция 2 (25K)|Лекция 3 (27K)|Лекция 4 (28K)
Лекция 5 (22K)|Лекция 6 (27K)|Лекция 7 (25K)|Лекция 8 (24K)
Лекция 9 (28K)|Лекция 10 (27K)|Лекция 11 (26K)|Лекция 12 (26K)]

Листки (Exrcise sheets)

Postscript

[Листок 1 (26K)|Листок 2 (22K)|Листок 3 (35K)|Листок 4 (28K)
Листок 5 (31K)|Листок 6 (42K)]

Zipped postscript

[Листок 1 (11K)|Листок 2 (9K)|Листок 3 (14K)|Листок 4 (12K)
Листок 5 (13K)|Листок 6 (16K)]

Домашний экзамен (Take-home exam)

[Postscript (42K)|Zipped postscript (17K)]

Решения экзамена (Solutions of exam problems)

[Postscript (61K)|Zipped postscript (22K)]

Второй домашний экзамен (Second take-home exam)

[Postscript (40K)|Zipped postscript (16K)]

Программа курса (и зачета)

Программа содержит основные утверждения, которые нужно уметь доказывать. Вопросы, отмеченные звездочкой, на лекциях не разбирались, их нужно самостоятельно изучить по книгам. Утверждения о преобразовании Фурье желательно доказывать для как можно более широких классов функций (последовательностей). Эрудиция приветствуется.

1. Мера Лебега.

  1. Множество меры нуль нигде не плотно.
  2. Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
  3. Образ множества меры нуль при гладком отображении имеет меру нуль. Контрпример для непрерывного отображения.
  4. Замена переменной в интеграле Римана.
  5. Счетное объединение множеств, измеримых по Лебегу, измеримо по Лебегу. Счетная монотонность меры Лебега.
  6. Открытые и замкнутые множества измеримы по Лебегу. Пример множества, не измеримого по Лебегу.
  7. Измеримые функции образуют алгебру, замкнутую относительно сходимости почти всюду.
  8. Теорема Егорова.
  9. Корректность определения интеграла Лебега.
  10. Если функция интегрируема по Риману, то ее интеграл Лебега равен интегралу Римана.
  11. Интеграл равен площади под графиком. Теорема Фубини.
  12. *Теорема Лебега об ограниченной сходимости.

2. Многообразия и локальный анализ.

  1. Корректность определения касательного пространства.
  2. Отображение замены координат является диффеоморфизмом.
  3. Прообраз регулярного значения гладкого отображения $f:M \to N$ --- гладкое подмногообразие $S \subset M$.
  4. Касательное расслоение является гладким многообразием.
  5. Приведение гладкой функции на многообразии к каноническому виду заменой координат в окрестности некритической точки.
  6. Лемма Адамара.
  7. Лемма Морса (приведение гладкой функции на многообразии к каноническому виду заменой координат в окрестности невырожденной критической точки).
  8. Параметрическая лемма Морса.
  9. Фактор максимального идеала в алгебре гладких функций на многообразии по его квадрату изоморфен кокасательному пространству.
  10. Лемма Сарда.

3. Преобразование Фурье.

  1. Свертка ассоциативна, коммутативна и перестановочна со сдвигами и дифференцированиями.
  2. Группы, двойственные по Понтрягину к R, Z и U(1).
  3. Коммутирование преобразования Фурье с операторами умножения, сдвига и дифференцирования.
  4. Связь гладкости функции с асимптотикой ее преобразования Фурье.
  5. Прямое и обратное преобразование Фурье взаимно обратны.
  6. Преобразование Фурье переводит свертку в умножение и наоборот. Преобразование Фурье — L2-ортогональное.
  7. *Сходимость ряда Фурье непрерывных периодических функций.
Rambler's Top100