В весеннем семестре 2012 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
Пятница, 18 мая 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
Я расскажу про основные понятия и методы алгебраической теории
пересечений. В качестве мотивировки, мы сначала обсудим классические
задачи исчислительной геометрии, которые во многом способствовали
развитию теории пересечений. Для понимания доклада желательно,
но не обязательно знакомство с алгебраической геометрией.
Пятница, 27 апреля 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
Миноры матрицы удовлетворяют многочисленным соотношениям,
среди которых наиболее известны квадратичные соотношения Плюккера.
В докладе (основанном на совместной работе с Сашей Карзановым и
Глебом Кошевым) я хочу показать, что похожие соотношения выполнены для
потоков в плоских сетях. При этом "минорные" соотношения Плюккера
получаются из "потоковых" с помощью знаменитой теоремы Линдстрема. В
тропическом варианте это позволяет достаточно конструктивно задавать
тропически-Плюккеровы функции (и в конечном счете приводит к
симпатичной модели кристаллов типа A). В алгебраическом варианте
наиболее интересное применение относится к соотношениям между
симметрическими функциями Шура.
Пятница, 20 апреля 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
Группа Торелли рода g - это подгруппа группы классов отображений ориентированной поверхности рода g, действующая тривиально на её гомологиях. В докладе будет дан обзор известных
результатов о строении групп Торелли. Прорыв в этом направлении был достигнут Джонсоном в начале 1980-х годов: им была доказана конечная порождённость групп Торелли рода >2, вычислены их
абелизации, а также получен ряд других важных результатов. Будет также рассказано о недавнем подходе Бествины-Букса-Маргалита, связанном с изучением действия группы Торелли на построенном ими
комплексе, названном комплексом циклов. По-видимому, изложение будет довольно обзорным из-за довольно большого количества материала.
Пятница, 13 апреля 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
Будут сформулированы основные понятия и конструкции исчисления
Гельфанда-Дорфман на расслоениях мультивекторов над пространствами
бесконечных струй отображений гладких многообразий в некоммутативные
ассоциативные алгебры, профакторизованные по отношению эквивалентности
относительно циклических перестановок букв в словах. Примечательно, что
возникающая некоммутативная вариационная скобка Схоутена допускает
естественную физическую интерпретацию --- она соответствует паре
топологических штанов, задающих "поле" над точками пространства-времени
и таких, что каждая из трёх окружностей, в них содержащаяся, маркирована
словом из нескольких ассоциативно перемножаемых букв (маркировка одной
буквой описывает рассеяние точечных частиц, двумя --- задаёт
коммутативноый случай; наибольший интерес представляют слова из не менее
чем трёх букв ассоциативной алгебры, поскольку ими выражена
некоммутативная часть теории). В рамках возникающего пуассонова
формализма будет поставлена задача деформационного квантования
некоммутативных вариационных гамильтоновых структур, то есть задача
перехода от некоммутативных скобок Пуассона к решениями уравнения
ассоциативности.
Доклад следует заметке докладчика arXiv:1112.5784, а также обзору arXiv:1111.3272, и основан на пионерских работах М.Концевича (1992, применительно к пуассоновым многообразиям, но не пространствам струй) и П.Олвера-В.В.Соколова (1998).
Пятница, 6 апреля 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
Я собираюсь рассказать о некотором семействе билинейных
тождеств на симметрические функции Шура. Одним из первых примеров
тождеств такого рода являются соотношения на характеры прямого
произведения представлений группы SU(n), полученные Кирилловым
(см. Записки научных семинаров ЛОМИ, том 134 (1984) стр. 169-189.)
В значительно более общем виде такие соотношения появились при исследовании структуры (квантовых) суперматричных алгебр. В частности, билинейные тождества позволяют получить факторизацию полинома Кэли-Гамильтона для суперматрицы и инвариантным образом ввести понятия ''четных'' и ''нечетных'' собственных значений (см. Д.И. Гуревич, П.Н. Пятов, П.А. Сапонов, ''Квантовые матричные алгебры GL(m|n) типа II: структура характеристической подалгебры и ее спектральная параметризация'', Теоретическая и Математическая физика, том 147, no. 1, (2006) стр. 14--46.). Планируется сделать краткий обзор упомянутых результатов по этой теме.
Пятница, 30 марта 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
Пусть $G$ - группа Ли, $K$ - компактная подгруппа. Функции
на $G$, инвариантные относительно левых и правых сдвигов на
$K$ образуют подалгебру в групповой алгебре $G$. Эта подалгебра
действует в $K$-неподвижных векторах любого унитарного
представления $G$.
Для бесконечномерных групп пространства двойных классов
смежности $K\setminus G/K$ часто имеют структуру полугруппы.
Будут рассмотрены примеры, видимо
$G=U(k+\infty)\times \dots \times U(k+\infty)$, $K=O(\infty)$
(вложено по диагонали).
Двойные классы смежности будут реализованы как пространства
рациональных отображений (конечномерных) лагранжевых
грассманианов.
Пятница, 23 марта 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
Теория квазиконформных отображения была создана Грёчем, Лаврентьевым и
Морри в 20-х - 30-х гг ХХ века. Ее основная теорема (измеримая теорема Римана)
утверждает, что всякая ограниченная измеримая почти комплексная
структура на сфере Римана глобально квазиконформно интегрируема:
существует ее квазиконформный гомеоморфизм, переводящий данную
почти комплексную структуру в стандартную. Ее гладкая периодическая версия
утверждает, что всякая бесконечно-гладкая почти комплексная структура
на двумерном торе интегрируема: существует диффеоморфизм данного тора на
подходящий комплексный тор, переводящий данную почти комплексную
структуру в стандартную.
Мы представим элементарное доказательство гладкой периодической версии и покажем, как из нее выводятся общая измеримая теорема Римана, а также классическая теорема Пуанкаре-Кёбе об униформизации (по модулю чисто топологического утверждения). Вывод происходит с помощью классических рассуждений, использующих неравенства Грёча и нормальные семейства функций.
Пятница, 16 марта 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
Я расскажу о "большой" иерархии BKP и опишу некий простой и полезный
класс тау функций этой иерархии. В качестве примеров будут выписаны
ряды по разбиениям и проведено сравнение с формулой Сато для KP и
формулой Такасаки для TL. Таким образом можно получить новые "интегрируемые"
модели случайных разбиений и, в частности, дискретные аналоги $\beta=1$ и
$\beta=4$ ансамблей. Также будут представлены многократные интегралы
интерполирующих ансамблей Меты-Панде и ансамблей Женибра (real and
quaternionic real Ginibre ensembles).
Пятница, 2 марта 2012, 18:00, ауд. 303
Аннотация:
Я расскажу об обобщении классической открытой цепочки Тоды, фазовым
пространством которого является пространство всех симметрических матриц, в
отличие от симметрических трехдиагональных для открытой цепочки Тоды. Также
будет представлено алгебраическое описание этой системы в терминах схемы
Адлера-Костанта-Сима и построено квантование модели по аналогии с
квантованием системы Годена.
Пятница, 24 февраля 2012, 17.00, ауд. 303
Abstract:
Character expansions emerge in various applications in mathematical physics,
from generating functions of Hurwitz numbers to knot theory. They sometimes
happen to describe a $\tau$-function of KP/Toda hierarchy, however, generically
they have to correspond some extensions of the standard $\tau$-function.
I will explain what type of character expensions emerge both in Hurwitz theory
and in the theory of knots, and how they can be used, in particular,
in knot theory
for producing new results.
Пятница, 17 февраля 2012, 17.00, ауд. 303
Абстракт
Я расскажу о "большой" иерархии BKP и опишу некий простой и полезный
класс тау функций этой иерархии. В качестве примеров будут выписаны
ряды по разбиениям и проведено сравнение с формулой Сато для KP и
формулой Такасаки для TL. Таким образом можно получить новые "интегрируемые"
модели случайных разбиений и, в частности, дискретные аналоги $\beta=1$ и
$\beta=4$ ансамблей. Также будут представлены многократные интегралы
интерполирующих ансамблей Меты-Панде и ансамблей Женибра (real and
quaternionic real Jinibre ensembles).
Пятница, 10 февраля 2012, 17.00, ауд. 303
Аннотация:
Пусть M гладкая связная ориентируемая замкнутая поверхность рода g.
Рассмотрим морсовские функции на M, у которых фиксировано количество
критических точек каждого индекса 0, 1, 2 (точки локальных минимумов,
седловые точки и точки локальных максимумов). Для удобства
предположим, что не менее чем 32g критических точек отмечены разными
метками (т.е. покрашены в разные цвета или занумерованы). Цель доклада
изучить и описать гомотопический тип пространства F=F(M) таких
функций, снабженное C-топологией.
Будет описан конечномерный счетный (и конечный при g=0) полиэдр K
(комплекс оснащенных функций Морса), состоящий из блоков косых
цилиндрических ручек. Блоки (т.е. ручки) полиэдра K находятся во
взаимно однозначном соответствии с классами изотопности функций из
F, причем (аналогично клеточному разбиению) каждая ручка имеет индекс
и приклеена своей подошвой к объединению ручек меньших индексов.
Теорема 1. Пространство F гомотопически эквивалентно прямому произведению R и K, где R это SO(3), T2 или точка в зависимости от g=0,1 или больше.
Теорема 2. Если g=0, то (-1)^q \chi(K) равно количеству клеточных разбиений поверхности M, имеющих p вершин, q ребер и r граней, с точностью до изотопии.
Примеры. Если количество седловых критических точек равно 2, то полиэдр K является ориентированной хордовой диаграммой (которая будет построена на докладе), в которой хорды и ориентированные циклы это ручки индексов 1 и 0 соответственно. В частности, полиэдр K гомотопически эквивалентен букету 4, 6 или окружностей.
Пятница, 27 января 2012, 17.00, ауд. 303
Абстракт:
AdaBoost алгоритм бы придуман Робертом Шапиро и Иовом Фройндом в 1997 году
и сейчас не нуждается в рекламе среди специалистов по анализу даных.
За этот алгоритм они получили геделевскую премию в 2003 году. Сегодня
считается, что AdaBoost, так же как и PageRank алгоритм Брина и Пэйджа,
один из 10 наиболее важных алгоритмов в анализе данных.
Математик, не интересующейся ничем кроме математики, может забыть обо всем этом и рассматривать AdaBoost как метод решения некоторой специальной оптимизационной задачи.
В нашей работе мы вводим непрерывную по времени систему, которую называем AdaBoost Flow. Она задается системой дифференциальных уравнений с контролем. Мы показываем, что при соответствующем выборе контроля дискретный AdaBoost алгоритм может быть вложен в непрерывную систему. Оказывается, что уравнения, определяющие нетривиальную часть динамики на мерах, совпадают с уравнениями для цепочки Тоды в спектральных переменных.
Наиболее интересным и неожиданным является то, что конструкция AdaBoost Flow напоминает конструкцию Перельмана, которую он применил для изучения Потоков Ричи. Мы приводим словарь соответствия между объектами этих двух задач.
