В весеннем семестре 2013 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
Пятница, 24 мая 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
This talk is a report on a long-term project, joint
with N.Mnev (POMI, St.Petersbourgh). We discuss the combinatoric
spherical bundles, i.e. simplicial complexes with maps from other
simplicial complexes into them, which are locally-trivial (in some
sense) and have fibres, PL-isomorphic to spheres. We discuss a
combinatoric method to describe the simplicial (co)chains, which
represent the Pontryagin classes of the vector bundle, if a
combinatoric description of the corresponding spherical bundle is
given. This method is based on the implementation of suitable
generalisations of Igusa's higher Reidemeister-Franz torsion, on the
combinatoric description of twisting cochain, corresponding to a
bundle, uses cyclic homology and other methods. In particular, our
approach enables one to construct the Pontryagin classes of a
combinatoric manifold by application of the aforementioned
construction to the combinatoric bundle, given by the Gauss functor.
Пятница, 17 мая 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Расмматриваются представления бесконечномерной симметрической
группы (вариант: произведения нескольких симметрических групп),
сферические относительно "маленьких подгрупп". Их них строятся
объекты типа двумерных "топологических теорий поля", т.е., функции
из категории бордизмов (снабженных триангуляциями или полигональными
разбиениями) в категорию гильбертовых пространств и операторов.
Пятница, 26 апреля 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
В докладе я планирую сделать небольшой обзор о проблеме
классификации коммутирующих дифференциальных операторов, связи
ее в двумерном случае с теорией КП на поверхности, рассказать о
нескольких новых результатах, полученных с разными соавторами в
этом направлении.
Пятница, 19 апреля 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Согласно Зиману, проблема классификации вложений многообразий в
многообразия - одна из трех классических проблем топологии.
Я опишу возрождение интереса к этой красивой области топологии,
представив недавние полные классификационные результаты.
В частности, классификацию заузленных торов (J. Hudson, J. Becker - H. Glover, A. Skopenkov, M.
Skopenkov), - вложений четырехмерных многообразий (J. Bo'echat - A. Haefliger, D. Crowley, M. Kreck and
A. Skopenkov).
Подробнее:
http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/High_codimension_embeddings:_classification
http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Knotted_tori
http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/4-manifolds_in_7-space
Пятница, 12 апреля 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Я расскажу про геометрию анти де ситтера и как его
группа изометрий реализуется в качестве группы конформных
преобразований на границе и далее в этом духе.
Пятница, 5 апреля 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Бездисперсионная иерархия КП является старшей частью по
h-bar-порядку иерархии КП, зависящей от h-bar. Известно, что решение
бездисперсионной иерархии КП соответствует каноническому
преобразованию. В докладе будет описано рекуррентное построение
решения полной иерархии КП, зависящей от h-bar. Конструкция отвечает
квантованию соответствующего канонического преоб-разования. Доклад
основан на работах с К. Такасаки (arXiv:0912.4867, 1105.0794,
1112.0601).
Пятница, 29 марта 2013, 18:00, ауд. 303
Аннотация
Я расскажу о задаче деформации пары: пуассонова алгебра +
коммутативная
подалгебра в ней в контексте *- произведения. Для общего класса пар
будут
построены препятствия квантования, которые будут проинтерпретированы
как
классы групп относительных пуассоновых когомологий относительного
комплекса Хохшильда пары алгебр. Также будет установлена связь
полученных
классов с препятствиями, полученными ранее Гарэ и Ван Стратеном.
Материал основан на совместной работе докладчика и Г.И. Шарыгина
arXiv:1210.2840.
Пятница, 22 марта 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
В докладе будет рассказано, как вычислить (если честно,
свести к линейной алгебре) рациональные когомологии открытых пространств
модулей эллиптических кривых с отмеченными точками и структурами
уровня. В частности, будет рассказано, почему когомологии
распадаются в прямую сумму чистых структур Ходжа, как можно вывести формулу
Гетцлера для полинома Серра, откуда в когомологиях берутся
нетейтовские классы, и как выразить размерности пространств таких классов через
размерности пространств модулярных форм с помощью изоморфизма
Эйхлера-Шимуры. Мы также опишем вещественный гомотопический тип
этих пространств и дадим гипотетическое описание рационального
гомотопического типа. Все необходимые определения из теории
Ходжа и т.д. будут напомнены в начале доклада.
Пятница, 15 марта 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
В докладе будет рассказано про то как построить несколько вееров:
один по множеству полностью положительных матриц, другой по
кластерной алгебре на координатном кольце многообразия флагов.
Гипотетически эти веера совпадают, это доказано~Zдля некоторых
случаев и проверено на компьютере.
Пятница, 1 марта 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Числа Гурвица - комбинаторные числа, перечисляющие разветвленные
накрытия сферы Римана с предписанными данными ветвления. Комбинаторика
чисел Гурвица тесно связана с геометрией различных пространств Гурвица -
пространств мероморфных функций, и их странификации по типам вырождений
функций. А именно, числа Гурвица можно получить как некоторая
когомологическая характеристика, называемая степенью, стратов
пространства Гурвица.
~Z~Z~Z~Z~Z~Z~Z Мы приводим один из вариантов топологической рекурсии для чисел
Гурвица, основанный на анализе примыкания стратов. В настоящее время
этот способ реализован для двойных чисел Гурвица рода ноль, но
потенциально метод применим и для гораздо большего количества случаев. В
качестве промежуточных данных рекурсии выступают не только сами двойные
числа Гурвица, но и их некоторые когомологические обобщения, "потомки",
не имеющие комбинаторной интерпретации. Полученная рекурсия имеет вид
дифференциальных уравнений в частных производных на производящую функцию
для рассматриваемых чисел, которые выглядят непохожими ни на какие
уравнения, встречавшиеся ранее в теории интегрируемых систем.
Пятница, 22 февраля 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Пусть g - полупростая алгебра Ли и P(g) - соответствующая алгебра Пуассона.
По каждому регулярному элементу a\in g методом сдвига аргумента строится
коммутативная подалгебра F(a)\subset P(g), степень трансцендентности которой
равна размерности борелевской подалгебры, т.е. является максимальной возможной.
Всякий элемент этой подалгебры задает вполне интегрируемую гамильтонову систему
на g*.
Подалгебра F(a), построенная аналогичным образом по сингулярному элементу a, также коммутативна, но имеет меньшую степень трансцендентности. Однако можно доказать, что если элемент a, оставаясь регулярным, должным образом стремится к сингулярному элементу, то подалгебра F(a) стремится к коммутативной подалгебре той же степени трансцендентности. При этом предельная подалгебра зависит не только от предельного сингулярного элемента, но и от того, каким образом элемент a к нему стремится. Ситуация, когда a стремится к сингулярному элементу, оставаясь в пределах фиксированной подалгебры Картана, была исследована в работах докладчика (1990) и В.В. Шувалова (2002). Некоторые другие случаи будут обсуждены в докладе. Интересной открытой проблемой является описание многообразия всех интегрируемых квадратичных гамильтонианов, получаемых таким способом.
Пятница, 15 февраля 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация
образия с действием групп отражений и их
Кратко обсудив свойства матричного уравнения КдВ, мы
рассмотрим
системы ОДУ с матричными неизвестными. Правые части уравнений в таких
системах - это некоммутативные многочлены или многочлены Лорана от
матричных переменных x_1,...,x_n. Первыми интегралами являются следы
некоторых многочленов от этих переменных. Будет изучен специальный
класс
скобок Пуассона, задающий гамильтоновы структуры для таких систем.
Эти
скобки фактически неизвестны в матфизике. Они тесно связаны с
ассоциативным классическим уравнением Янга-Бакстера, двойными
скобками
Пуассона, недавно введенными Ван ден Бергом, и ассоциативными
анти-фробениусовыми алгебрами. Все эти понятия предполагается
обсудить.
Пятница, 28 декабря 2012, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Кластерная алгебра конечного типа соответствует конечной группе
Вейля.
Как показали недавно Barot и Marsh, при этом мутации колчана,
отпределяющего кластерную алгебру, соответствует замена набора
образующих в группе Вейля с помощью сопряжений.
По выбору образующих мы строим симплициальный комплекс с действием группы Вейля, который иногда оказывается многообразием. При мутации, специальная процедура (типа композиции факторизации и накрытия) превращает одно многообразие в другое. Например, в случае A3 можно промутировать сферу в тор, в случае B3 - сферу в поверхность рода 3, а в случае D4 -трехмерную сферу в трехмерный тор и в гиперболическое многообразие с 5-ю каспами.
Пятница, 7 декабря 2012, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Я расскажу о некотором классе точных комплексов эквивариантных
расслоений на классических грассманианах. В частности, как их можно
получить с помощью исключительных наборов. Кроме того, будет
рассказано о возможном обобщении на случай других полупростых групп
на примере лагранжева грассманиана, где их отголоски можно наблюдать
на уровне представлений параболической подгруппы.
Пятница, 30 ноября 2012, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Я расскажу о некоторых геометрических и топологических свойствах
полной симметричной системы Тоды (обобщённая система Тоды). Можно
отождествить критические точки потока системы Тоды с элементами группы
перестановок. Оказывается, что точки связаны траекторией тогда и только
тогда, когда соответствующие элементы сравнимы по Брюа, и диаграмма
переходов для обобщённой системы Тоды совпадает с диаграммой Хассе
порядка Брюа для симметрических групп. Можно показать, что обобщённая
система Тоды является системой Морса-Смейла на флагах, так что
стабильные (и, соответственно, нестабильные) подмногообразия
эквивалентны двойственным (и, соответственно, обычным) клеткам Шуберта.
Физически задача формулируется следующим образом. Пусть имеется система
n шаров на прямой с экспоненциальным взаимодействием, у этих шаров есть
определённые импульсы, как будут обмениваться импульсами шары через
бесконечное время? Какие обмены импульсами разрешены? То есть,
возвращаясь к обобщённой системе Тоды, пусть на минус бесконечности по
времени матрица оператора Лакса имеет вид диагональной матрицы
собственных значений в каком-то фиксированном порядке, как она будет
выглядеть на плюс бесконечности по времени, какие перестановки
собственных значений будут возможны? Метод, который используется для
решения этой задачи основан на существование инвариантных
подмногообразий в обобщённой системе Тоды, также используется результат,
полученный в работах A. M. Bloch, R. W. Brockett, T. S. Ratiu (1990),
A. M. Bloch and M. Gekhtman (1998), F. De Mari, M. Pedroni (1999), что
обобщённая система Тоды является градиентной системой.
Пятница, 23 ноября 2012, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Каждому гомеоморфизму окружности можно поставить в соответствие вещественное
число --- его число вращения. Число вращения замечательно тем, что оно отражает
свойства гомеоморфизма как динамической системы (в частности, наличие
периодических орбит) и не меняется при замене координат на окружности.
В 1978 году В.И.Арнольд предложил комплексный аналог числа вращения. Пусть f -- аналитический диффеоморфизм окружности |z|=1, a -- комплексное число, 0<|a|<1. Склеим границы кольца |a|<|z|<1 по отображению af. Модуль полученной эллиптической кривой и называется комплексным числом вращения отображения af.
В докладе будут рассказаны результаты, касающиеся предельного поведения комплексного числа вращения вблизи единичной окружности |a|=1.
Комплексное число вращения не определено на единичной окружности, но оказывается, что его можно продолжить по непрерывности на эту окружность (результат Ксавье Бюффа и докладчика). Образ единичной окружности --- фрактальное множество ("пузыри Федорова"), геометрическая структура оторого еще не изучена.
Пятница, 16 ноября 2012, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Я расскажу про интегрируемость в полной симметричной системе Тоды
(обобщённая система Тоды). В этой системе у матрицы оператора Лакса
заполнены все диагонали в отличие от обычной 3-х диагональной системы
Тоды. Обощенная система Тоды тоже является интегрируемой системой, впервые
это было показано в работе P. Deift, L. C. Li, T. Nanda, C. Tomei (1986)
с помощью, так называемой, процедуры чоппинга. В работах A. M. Bloch, M.
Gekhtman (1998), M. Gekhtman and M. Shapiro (1999) было показано, что полный набор
всех интегралов движения составляет некоммутативное семейство, в котором существуют
инволютивные семейства, обеспечивающие интегрируемость. В работе N. Ercolani, H.
Flaschka, S. Singer (1993) то же самое было сделано для близкой интегрируемой
системы - полной системы Костанта-Тоды (в которой заполнены снизу все диагонали
до главной включительно, над главной диагонали - диагональ, состоящая из единиц,
далее все диагонали нулевые). Я расскажу простой способ, как можно получать
такие интегралы движения и всё семейство в явном виде. Этот способ основан на
существовании полуинвариантов, построенных из миноров матрицы собственных векторов
матрицы оператора Лакса. Эти полуинварианты являются однородными координатами
в соответствующих проективных пространствах.
Пятница, 19 октября 2012, 17:00, ауд. 303
Аннотация
В докладе будет дан обзор теории сферических многообразий.
Я расскажу об их эквивариантных бирациональных инвариантах,
теории эквивариантных вложений (обобщающей теорию
торических многообразий). Также будет обсуждено действие
группы Вейля на множестве орбит борелевской подгруппы и связь
этого действия с малой группой Вейля.
Пятница, 12 октября 2012, 17:00, ауд. 303
Аннотация
Полиномиальный инвариант узла ХОМФЛИ зависит от двух переменных
(q,A).
Если положить А=1, то получится знаменитый полином Александера. А вот
если
положить q=1, то получится некий полином, который никто никогда особо
не
изучал. Тем не менее он обладает некоторыми примечательными
свойствами, о
которых я расскажу. Также рассмотрим поправки к этому полиному, то
есть
разложение ХОФМЛИ по (q-1). Эти поправочные члены выражаются через
собственные значения операторов разрезания-и-склейки, что
обеспечивает
связь этой науки с теорией Гурвица
Пятница, 5 октября 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
В конце 90-х годов Фабер выдвинул три гипотеза, дающие полное
описание
тавтологического кольца пространства модулей гладких комплексных
кривых.
Две из них на данный момент доказаны. Недавно Д.Звонкин предложил
обобщение этих гипотез для случая пространства модулей гладких кривых
с n отмеченными точками. Одна из гипотез утверждает, что размерность
старших тавтологических когомологий равна n. В докладе я расскажу,
как эту
гипотезу доказывать.
Пятница, 28 сентября 2012, 17:00, ауд. 303
Абстракт:
В докладе рассматриваются метрики на поверхностях,
допускающие
линейный и кубический по импульсам интегралы геодезического
потока и даётся их классификация. В качестве приложения стриотся
новый глобальный пример интегрируемой метрики определённый
на сфере S^2.
