В осеннем семестре 2013 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
Пятница, 6 июня 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Как показал Т. Йоргенсен, вопрос о дискретности произвольной
группы сохраняющих ориентацию изометрий трехмерного гиперболического
пространства сводится к вопросу о дискретности ее двупорожденных
подгрупп. В работе установлены достаточные условия дискретности для
групп с двумя непараболическими порождающими. Получен ответ на
вопрос Маскита о дискретности групп изометрий специального типа.
Пятница, 16 мая 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Топологическая рекурсия - своего рода анзац, позволяющий
вычислять n-точечные корреляторные функции в большом количестве задач
математической физики, комбинаторики, теории Громова-Виттена,
матричных моделей и т.п. Оказывается, соотношения топологической
рекурсии выглядят более удобно, если их переписать в терминах
производящего ряда для рассматриваемых корреляторов. По-существу, они
тогда принимают вид соотношений вирасоровского типа. В результате
мнгие загадочные свойства рекурсии упрощаются и становятся более
естественными.
В докладе я покажу, как топологическая рекурсия работает на
примере перечисления детских рисунков Гротендика.
Пятница, 25 апреля 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Я опишу обобщение иерархии КП, тесно связанное с аффинной
диаграммой Дынкина типа А. Эта иерархия допускает решения в терминах
соответствующих колчанных многообразий. При этом временная динамика
полюсов таких решений отвечает задаче Калоджеро-Мозера для комплексной
группы отражений типа G(m, 1, n). Доклад основан на совместной работе
докладчика и А. Силантьева.
Пятница, 18 апреля 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Будет рассмотрена интегрируемая иерархия уравнений пфаффовой
решетки (иерархии типа КП c D_{\infty}-симметрией) в бездисперсионном
пределе и показано, что она допускает красивую параметризацию в
эллиптических функциях. Будут также рассмотрены простейшие редукции
этой иерархии, аналогичные редукции обычной иерархии КП к КдФ. Они
описываются решениями обыкновенного дифференциального уравнения,
которое является эллиптическим аналогом уравнения Левнера.
Пятница, 11 апреля 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
В докладе будет рассказано о задаче построения коммутативных колец
разностных операторов. В случае гиперэллиптических спектральных кривых
(при некоторых дополнительных ограничениях) получены уравнения,
эквивалентные уравнениям Кричевера-Новикова на параметры Тюрина.
С помощью этих уравнений найдены примеры коммутирующих разностных
операторов ранга два, отвечающие спектральным кривым произвольного рода.
В частности, найдены операторы с полиномиальными и тригонометричесими
коэффициентами.
Пятница, 4 апреля 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
We describe a class of integrable systems on Poisson
submanifolds of the affine
Poisson-Lie groups PGL(N), which can be enumerated by cyclically
irreducible elements
the co-extended affine Weyl groups. Their phase spaces admit
cluster coordinates, whereas the integrals of motion are cluster
functions. We show,
that this class of integrable systems coincides with the constructed
by Goncharov and
Kenyon out of dimer models on a two-dimensional torus and classified
by the Newton
polygons. We construct the correspondence between the Weyl group elements
and polygons, demonstrating that each particular integrable model
admits infinitely
many realisations on the Poisson-Lie groups. We also discuss the
particular examples,
including the relativistic Toda chains and the Schwartz-Ovsienko-Tabachnikov
pentagram map.
Пятница, 21 марта 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Будет показано, что тау функция BKP (Каца-ван де Лера)
является квадратным корнем из тау функции трехкомпонентного уравнения
KP и установлена связь между тау функцией BKP и тодовской цепочки,
которая обобщает соотношение Шиоты-Адлера-ван Мербеке. Рассмотрены
модели кулоновского газа и модели случайных разбиений, связанные с
иерархиями BKP. Используется метод свободных фермионов.
Пятница, 14 марта 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Я докажу, что полином ХОМФЛИ (полиномиальный инвариант узла) лежит
в алгебре квазисимметрических функций. Поэтому его зависимость от
представления полностью описывается (расширенными) характерами
симметрической группы, которые являются базисом в указанной алгебре. Этот
факт играет важную роль при изучении петлевого разложения ХОМФЛИ (когда
появляются инварианты Васильева) и разложения при больших N. Также он
обеспечивает связь полиномов ХОФМЛИ с двуточечными функциями Гурвица. Если
позволит время, расскажу про аналогичные исследования для суперполиномов -
новых нетривиальных обобщений полиномов ХОМФЛИ.
Пятница, 7 марта 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
В теории представлений и алгебраической геометрии известно
несколько классов многогранников, связанных с неприводимыми
представлениеями редуктивных групп и многообразиями полных флагов. В
частности, к ним относятся классические многогранники
Гельфанда-Цетлина, целые точки в которых параметризуют канонические
базисы в неприводимых представлениях группы GL_n, и многогранники
Гроссберга-Каршон, являющиеся многогранниками Ньютона гладких
торических вырождениям разрешений Ботта-Самельсона многообразий
флагов.
Я расскажу об элементарной выпукло-геометрической конструкции,
которая в том числе позволяет итеративно построить многогранники
Гельфанда-Цетлина и Гроссберга-Каршон, начиная с точки. Конструкция
мотивирована определением операторов разделённых разностей из
исчисления Шуберта и операторов Демазюра из теории представлений.
В рамках этой конструкции можно использовать разные начальные
данные и получать новые классы многогранников. Гипотетически можно
получить многогранники Ньютона-Окунькова разрешений Ботта-Самельсона
для некоторого геометрического выбора нормирования. Точная
формулировка гипотезы будет приведена в докладе. Кроме того, я
расскажу о потенциальных приложениях к исчислению Шуберта.
Пятница, 28 февраля 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Тропическая теорема соответствия Михалкина позволяет
сосчитать плоские кривые данной степени данного рода,
проходящие через данный набор точек общего положения.
Такие кривые оказываются во взаимно однозначном
соответствии с комбинаторными объектами -- тропическими
кривыми той же степени и рода, проходящими через набор
точек общего положения на тропической плоскости.
Я объясню теорему Михалкина для кривых с небольшим числом особенностей (1 или 2) с новой точки зрения. Это объяснение пока не распространено на общий случай, но полезно тем, что упрощает ответ и обобщает теорему Михалкина на проективные гиперповерхности (пока с 1-2 особенностями) произвольной размерности.
В частности, для случая гиперповерхностей с одной особенностью получившееся обобщение дает теорему Гельфанда-Капранова-Зелевинского, описывающую многогранник Ньютона дискриминанта многочлена многих переменных, а для гиперповерхностей с двумя особенностями описывает многогранники Ньютона каустики и страта Максвелла в пространстве многочленов данной степени.
Пятница, 21 февраля 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
В данном докладе мы рассмотрим метод Тураева-Решетихина для
вычисления полиномов ХОМФЛИ. Этот метод основан на использовании
R-матриц (решений уравнения Янга-Бакстера). Мы рассмотрим методы
построения R-матриц и их свойства, а также процедуру каблирования,
позволяющую вычислить цветные полиномы ХОМФЛИ.
Пятница, 14 февраля 2014, 18:00, ауд. 303
Аннотация:
Я расскажу, что такое квадратичная алгебра, что такое
квадратично двойственная алгебра, дам несколько эквивалентных
определений кошулевости, и перечислю некоторые операции на
положительно градуированных алгебрах, сохраняющие классы
клвадратичных и кошулевых алгебр. Если время позволит, я скажу
также несколько слов об алгебрах с неоднородными квадратичными
соотношениями и сформулирую теорему двойственности,
связывающую неоднородные кошулевы алгебры и кошулевы
DG-алгебры с кривизной.
Пятница, 20 декабря 2013, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Доклад, основанный на статье arXiv:1312.1262 [math-ph] и препринте
arXiv:1312.xxxx (15/12/2013), будет посвящён геометрии кратных
вариаций и естественной, не апеллирующей к разного рода приёмам,
регуляризации формализма Баталина-Вилковыского (или, например,
вариационного пуассонова формализма). Следует уточнить, что заявленный
результат не расширяет область применимости известной теории и не
опровергает ранее полученные верные выводы; цель доклада --- указать
элементарный геометрический механизм внутреннего самосогласования
объектов вариационного исчисления. В рамках полученной картины
становится возможным строго доказать (а не постулировать, как ранее,
не доказывая) основные свойства БВ-лапласиана и вариационной скобки
Схоутена: тождество Якоби, "БВ-лапласиан есть дифференциал" и
"БВ-лапласиан есть дифференцирование скобки" (по определению, "скобка
Схоутена меряет отклонение БВ-лапласиана от того, чтобы ему быть
дифференцированием").
От слушателей предполагается только знание параграфов 12-13 книги "Математические методы классической механики" В.И.Арнольда или соответствующих глав "Т.1. Механика" Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица о вариации функционала действия и выводе уравнений Эйлера-Лагранжа.
Пятница, 6 декабря 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
Зеркальная симметрия изучает соответствие между алгебраической и
симплектической геометриями разных многообразий или семейств
многообразий. В докладе будет обсуждаться одна из версий зеркальной
симметрии. А именно, многообразию Фано мы сопоставим довольно простой
объект --- торическую модель Ландау--Гинзбурга, которая представляет
собой не что иное как просто многочлен Лорана с некими дополнительными
свойствами. Мы обсудим, какие есть подходы к построению таких моделей,
а также то, что для геометрии исходного многообразия Фано можно из них
извлечь. В частности, мы обсудим, как по торическим моделям
Ландау--Гинзбурга можно предсказать (не)рациональность многообразий
Фано, их бирациональные перестройки и некоторые числа Ходжа.
Пятница, 29 ноября 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
Ромб Ходжа римановой поверхности рода 1 обладает дополнительной
симметрией - относительно прямой под углом 45 градусов. Это наглядное
проявление зеркальной симметрии, которому она обязана своим именем. В
настоящее время зеркальная симметрия это клубок дополняющих друг друга
гипотез. В случае эллиптических кривых многие из них можно доказать, и
даже нарисовать на доске. Это я и проделаю, следуя в основном работе
Заслова и Полищука, в которой они строят гомологическую зеркальную
симметрию, то есть эквивалентность двух категорий - производной
категории когерентных пучков и производной категории Фукаи лагранжевых
подмногообразий с плоскими U(1) связностями. Категория Фукаи в
размерности 2 наглядная - все объекты, морфизмы и операции можно
нарисовать на доске, вычислить, и построить отождествление с
соответствующими когерентными пучками (линейными расслоениями,
структурными пучками точек, итп). Очевидное действие SL(2,Z) на
эллиптической кривой как на симплектическом многообразии соответствует
действию на когерентных пучках, найденному Мукаем в 80-х.
Пятница, 22 ноября 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
The Knizhnik-Zamolodchikov flat connection was used by
V.Drinfel'd to construct an explicit complex valued associator.
Recently, Alekseev and Torosian constructed a new flat connection,
which gives us a new explicit real valued associator. Our purpose in
this lecture is to explain the construction of Alekseev and Torosian,
and its relation the Kontsevich formality morphism.
Пятница, 15 ноября 2013, 17:00, ауд. 303
Пятница, 1 ноября 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
Ландо и Звонкин в своей книге о графах на поверхностях отмечают
наличие взаимно однозначного соответствия между рациональными
функциями одной переменной степени 3 и многочленами степени 4 (с
точностью до соответствующих эквивалентностей). Наличие этого
соответствия установлено ими с помощью косвенных
комбинаторно-топологических соображений, и ставится вопрос о природе и
явном виде соответствия.
В докладе будет дан ответ на вопрос Ландо-Звонкина и будет предпринята попытка обсудить, насколько исключительными являются изоморфизмы такого рода.
Пятница, 25 октября 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
Теория q-дифференциалов Прима для целых q и произвольных
характеров s на переменной компактной римановой поверхности F строится
как аналог теории абелевых 1-дифференциалов. Построены все основные
типы элементарных (s, q)-дифференциалов для переменных характеров,
которые локально голоморфно зависят от модулей компактной римановой
поверхности. Описаны основные виды векторных расслоений со слоями из
мероморфных (s, q)-дифференциалов, над произведением пространства
Тейхмюллера и группы характеров. Методы, развитые для дифференциалов
Прима, также применяются для построения теории абелевых
q-дифференциалов на переменной компактной римановой поверхности.
Пятница, 18 октября 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
Общепринятый подход к перечислительной геометрии --
компактифицировать пространство конфигураций,
которые нужно подсчитывать, и вести вычисления
в кольце когомологий этой компактификации.
Недавно в перечислительной геометрии появился новый тип результатов, кажущийся никак не связанным с вышеупомянутым классическим подходом. Это тропические теоремы соответствия. Они утверждают, что многие вопросы перечислительной геометрии имеют один и тот же ответ над комплексными числами, где эти вопросы интересны, но сложны, и над тропическими числами, где эти вопросы чисто комбинаторны.
Я опишу новый способ (пока почти гипотетический) получения тропических теорем соответствия: оказывается, достаточно в классическом подходе заменить когомологии компактификации "кольцом условий" (в смысле де Кончини и Процези), и полученные результаты окажутся теоремами соответствия. В частности, я определю "сферические характеристические классы", принимающие значения в кольце условий, и объясню, как с их помощью посчитать "тропический многочлен Тома" мультиособенности (A_1,A_1).
Пятница, 11 октября 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта описывает переход от универсальной
обёртывающей данной алгебры Ли к соответствующей симметрической
алгебре. Эта процедура позволяет строить градуированные (вырожденные)
представления для простых алгебр Ли. Мы опишем получающиеся
пространства, приведём примеры, а также обсудим соответствующие
вырожденные многообразия флагов. Мы также проясним связь нашей
конструкции с конструкцией Винберга, позволяющей строить торические
вырождения, факторизующиеся через ПБВ вырождения.
Пятница, 27 сентября 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
Цель доклада -- объяснить эквивалентность между категорией формальных
фробениусовых многообразий в роде ноль и категорией алгебр
Баталина-Вылковысского, оснащенных выбранной тривиализацией действия
оператора БВ. Эквивалентность категорий формулируется на языке операд,
где достаточно предъявить явную формулу для квазиизоморфизма. Такой
взгляд на вещи дает естественное описание действия группы петель по
Гивенталю на фробениусовых многообразиях, а также формулы
топологической рекурсии.
По совместной работе с Н.Маркаряном и С.Шадриным http://arxiv.org/abs/1206.3749
Пятница, 6 сентября 2013, 17:00, ауд. 303
Abstract:
Известно, что алгебры следов от произведений монодромий систем
дубровинского типа (для 2х2 матриц) можно отождествить с алгебрами
геодезических функций на римановых поверхностях. Последние допускают явную
параметризацию в терминах переменных Дарбу, приходящих из комбинаторного
описания пространства Тейхмюллера в терминах shear coordinates (Penner,
Fock). В терминах этой параметризации удается построить явные
представления для алгебр собственно 2х2 матриц монодромий дубровинских
систем (ЛЧ, М.Маззокко, июль 13)
