В осеннем семестре 2014 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
Пятница, 12 декабря 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
RSK-соответствие (Robinson-Schensted-Knuth correspondence) это
алгоритм, задающий биекцию между неотрицательными целыми матрицами и
плоскими разбиениями. Изначально, Шенстед предложил алгоритм, задающий
биекцию между перестановками и парами стандартных таблиц Юнга
одинаковой формы. Кнут обобщил этот алгоритм с перестановок на
неотрицательные целые матрицы и установил биекцию с множеством пар
полустандарных таблиц Юнга. Робинсон раньше сделал то же самое. Эта
биекция играет важную роль в теории представлений и дает комбинаторные
аналоги двойственностей Шура-Вейля и Хоу, имеет непосредственное
отношение к мерам Шура, росту полимеров и др. В начале этого века
А.Кириллов предложил геометрическое RSK-соответствие,
а Науми и Ямада обнаружили, что геометрическое RSK-соответствие тесно
связано с дискретными уравнениями Хироты. В нашей работе с
В.И.Даниловым мы показали это в терминах октоэдральной рекурсии. В
этом году новый интерес с геометрическому RSK возник в контексте
функций Уиттекера и характеров геометрических кристаллов. После этого
краткого напоминания я расскажу, как определить RSK-соответствие на
двойных клетках Брюа алгебр Каца-Муди и
связь этого RSK с кластерным изоморфизмом колец функций на этих клетках.
Доклад по совместной работе с А.Беренштейном и А.Кирилловым.
Пятница, 5 декабря 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Это будет доклад о результатах статьи arXiv:1409.4726
и о проблеме алгоритмического распознавания квазиположительных кос.
.
Пятница, 28 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Группа Гротендика-Тейхмюллера --- одна из самых загадочных групп
в математикe. Она была введена В. Дринфельдом в контексте теории
деформаций Ли биалгебр, и нашла со времением применения в самых разных
областях математики, от теории чисел до Пуассоновой геометрии.
В совместной работе докладчика с Томасом Уилвахером и Рикардо
Кампосом обнаружено гомотопически нетривиальное действие группы
Гротендика-Тейхмюллера на Фробениусовых алгебрах и инволютивных Ли
биалгебрах --- математических структурах, допускающих обширные
приложения в математической физике и алгебраической топологии.
Пятница, 21 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Рассмотрим полиномиальное векторное поле в C^2 с комплексным временем:
? = P(x,y),
? = Q(x,y),
P и Q имеют степень n. Его фазовый портрет --- это голоморфное слоение в
С^2,
каждый лист слоения является (некомпактной) римановой поверхностью.
Множество таких слоений мы будем называть ?_n.
В типичном случае замыкание каждого листа --- всё C^2.
Мы доказали, что в ?_n плотны слоения, имеющие лист с большим количеством ручек (порядка n^2/2).
Кроме того, мы доказали, что у слоения с симметрией
P(x,y)=P(-x,y),
Q(x,y) = -Q(-x,y)
в типичном случае все листы имеют бесконечное число ручек.
Я сделаю обзор близких результатов о типичных слоениях из ?_n, и расскажу идеи доказательств наших результатов.
Пятница, 14 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В начале рассматривается матрично-модельное представление для производящей
функции чисел морфизмов Белого, чистых морфизмов Белого и двухпрофильных
морфизмов Белого. Все эти функции можно переписать в терминах ленточных
графов на римановых поверхностях и представить через соответственно
эрмитовую одноматричную модель с логарифмической добавкой в потенциал,
матричную модель Концевича-Пеннера и обобщенную модель Концевича, что еще
раз показывает, что эти модели суть тау функции иерархии КП. Далее эти
результаты обобщаются на гипергеометрические числа Гурвица с произвольным
(фиксированным) числом $n$ точек ветвления и двумя фиксированными
профилями. При некоторых ограничениях на соответствующие производящие
функции нам удается представить их в виде специальных цепочек матриц,
допускающих решение в терминах топологической рекурсии. В качестве примера
рассматривается первый нетривиальный случай $n=4$.
Пятница, 7 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В первой части доклада мы обсудим, так называемые, интегрируемые
функциональные уравнения, т.е. допускающие общие аналитические решения.
Такие уравнения возникают в различных областях математики.
Во второй части в центре внимания будут функциональные уравнения,
соответствующие локализациям эквивариантных родов Хирцебруха. Мы
обсудим функциональные уравнения задающие роды Хирцебруха жесткие на
однородных пространствах компактных групп Ли.
Все необходимые определения будут даны в ходе доклада.
Пятница, 24 октября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Похоже, что "странная двойственность" Арнольда на множестве
исключительных унимодальных особенностей была первым наблюдением
эффекта, который теперь называется зеркальной симметрией. Изначально
эта двойственность формулировалась в терминах чисел Габриэлова и
Долгачева особенностей. Характеристические многочлены операторов
монодромии двойственных особенностей связаны между собой, так
называемой, двойственностью Саито. Обобщением двойственности Арнольда
является двойственность Берглунда-Хюбша-Хеннингсона
(Berglund-H?bsch-Henningson) между, так называемыми, обратимыми
многочленами. (Обратимый многочлен - это квазиоднородный многочлен от
n переменных, содержащий ровно n мономов и такой, что веса его
переменных определяются однозначно. Последнее означает, что матрица
степеней переменных в мономах невырождена.) В работах Берглунда, Хюбша
и Хеннингсона эти многочлены возникали как суперпотенциалы в зеркально
симметричных моделях Ландау-Гинзбурга. В "орбифолдной постановке"
(Берглунда-Хюбша-Хеннингсона) эта двойственность ставит в соответствие
паре, состоящей из обратимого многочлена и некоторой (конечной,
абелевой) группе его симметрий, некоторую двойственную пару. Будет
рассказано о некоторых двойственностях связанных с действиями групп
симметрий на слоях Милнора обратимых многочленов (т.е. их неособых
множествах уровня). Они включают совпадение некоторых инвариантов
орбифолдного типа и эквивариантную версию двойственности Саито.
Доклад основан на совместных работах с В.Эбелингом.
(Сокращенная версия того же доклада будет сделана утром того
же дня на конференции в Сколково.)
Пятница, 10 октября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В работе 1995 года Н. Хитчин с помощью твисторных методов
построил новые решения уравнений Эйнштейна. Он опирался на результаты
К.Тода, который годом раньше показал, что антиавтодуальные эйнштейновы
SU(2)-инвариантные метрики на 4-мерных многообразиях при некоторых
дополнительных условиях сводятся к уравнению Пенлеве-6 на независимую
переменную, параметризующую SU(2)-орбиты. Свои решения Хитчин выразил
весьма громоздкими формулами в терминах тета-функций; связь с
геометрией семейств эллиптических кривых тогда не была им прояснена.
Однако для случая алгебраических решений Пенлеве-6 эта связь
Хитчиным же была вскрыта в работе 2004 года и оказалась выразимой в
терминах теоремы Понселе о замыкании. В докладе соответствующее
изомонодромное семейство будет предъявлено в простейшем случае, в
котором роль пространства твисторов играет проективизация пространства
кубических многочленов.
Совокупность упомянутых (и некоторых других) идей и конструкций
указывает на существование класса Эйнштейновых многообразий, имеющих
арифметическую природу и полностью описываемых детскими рисунками.
Возможно, в заключение удастся обсудить некоторые физические
спекуляции, связанные с этими многообразиями.
Пятница, 3 октября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Мы обсудим концепции симметрии, ко-симметрии, законов сохранения и
формальных операторов рекурсии. Будет выведен ряд необходимых условий
интегрируемости. Он приводит к интересным и пока нерешенным проблемам
разностной алгебры.
Пятница, 19 сентября 2014, 17:20, ауд. 309
Аннотация:
В докладе будет доказано, что классический синус-процесс Дайсона и,
более общо, процесс, отвечающий проектору с интегрируемым ядром,
квази-инвариантен относительно группы диффеоморфизмов прямой с
компактным носителем.
Доклад основан на препринте http://arxiv.org/pdf/1409.2068v1.pdf
Пятница, 12 сентября 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Под статсуммой (partition function) в широком смысле в
математической физике часто подразумевают произвольный формальный
степенной ряд, обычно от бесконечного числа переменных. Коэффициенты
этого ряда могут иметь физический, комбинаторный, или
агебро-геометрический смысл. Мы рассмотрим класс таких рядов,
объединенных тем свойством, что для них выполняются так называемые
соотношения топологической рекурсии (по Чехову-Эйнару-Орантену). Этот
класс рядов включает в себе, в частности, всевозможные потенциалы
Гроова-Виттена. В докладе мы попытаемся описать геометрию, стоящую за
формальными манипуляциями топологической рекурсии. Оказывается,
пространство рассматриваемых рядов параметризуется точками
бесконечномерного лагранжева грассманиана. Отсюда следует, что это
пространство обладает большой группой симметрии: на нем действует
бесконечномерная симплектическая группа. Действие этой группы
продолжает действие Гивенталя на пространстве формальных потенциалов
Громова-Виттена.
