В весеннем семестре 2015 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
Пятница, 15 мая 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Отправная точка конструкции - это геометрическая картина вырождений
римановых поверхностей, возникающих при слиянии двух дырок (или сторон
одной и той же дырки): в результате появляются геодезические ламинации,
содержашие как замкнутые кривые, так и арки - кривые, оба конца которых
упираются в декорированные граничные каспы. Эти кривые можно отождествить
с лямбда-длинами, или с кластерными переменными. Явные координаты
появляются как специальные пределы координат сдвига. Соотношения скейна и
скобки Гольдмана для исходных геодезических функций переходят в этом
пределе в птолемеевы соотношения для арок. Если имеется хотя бы один
граничный касп, то можно установить взаимно однозначное соответствие между
координатами сдвига и лямбда-длинами (кластерными переменными).
Индуцированные квантовыми соотношениями для квантовых координат сдвига
перестановочные соотношения для лямбда длин при этом оказываются
квантовыми кластерными алгебрами Беренштейна и Зелевинского. Попутно
удается решить проблему упорядочения в выражениях для квантовых лямбда
длин.
Пятница, 24 апреля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Топологическая рекурсия - это рекуррентная процедура для отыскания членов
производящего ряда, в данном случае - для чисел Гурвица, преречиляющих
разветвленные накрытия сферы. Эта процедура была гиптетически предсказана
Бушаром и Мариньо, а затем доказана несколькими способами в разных работах.
Имеется два подхода для построения топологической рекурсии. Один основан
непосредственно на комбинаторике чисел Гурвица и уравнении склейки/резки, а
второй - на связи чисел Гурвица с числами пересечений на пространстве
модулей комплексных кривых, задаваемой формулой ELSV
(Экедал-Ландо-Шапиро-Вайнштейн). В частности, эквивалентность двух подходов
приводит к независимому доказательству формулы ELSV. Доклад основан на
совместной работе arXiv:1307.4729 [xxx.lanl.gov] с П.Дуниным-Барковским, Н.
Орантеном, С.Шадриным и Л.Шпитцем
Пятница, 17 апреля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Мы ищем решения n-го функционального уравнения Хирцебруха в формальных
рядах
и аналитических функциях. Будут представлены частные результаты для
общего
n, а также общее решение для n=2. В последнем случае будут рассмотрены
решения, соответствующие различным аналитическим функциям.
Мы опишем применения этого результата в теории родов Хирцебруха.
Представленные результаты получены совместно с В.М.Бухштабером.
Пятница, 10 апреля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Карди-Фробениусовы алгебры - это алгебраическая структура,
появляющаяся на пространстве состояний в открыто-замкнутых топологических
теориях поля. В своём докладе я расскажу, что это за алгебраическая
структура, дам мотивировки и примеры, один из которых приходит из так
называемых моделей Ландау-Гинзбурга.
Также я расскажу как устроенны полупростые Карди-Фробениусовы алгебры и как в полупростой ситуации с помощью теорий, приходяших из моделей Ландау-Гинзбурга, можно получить некоторые результаты теории особенностей.
Никаких специальных предварительных знаний от слушателей не требуется.
Пятница, 3 апреля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Кактусная группа -- это фундаментальная группа пространства модулей
вещественных стабильных рациональных кривых с отмеченным точками.
Эта группа своим определением и свойствами напоминает группу кос (в
частности, она играет ту же роль для категории кристаллов, что группа кос
для категории представлений квантовой группы). Я опишу некоторое
естественное действие кактусной группы на множестве целых точек выпуклых
многогранников типа Гельфанда-Цетлина. Это действие происходит из накрытия
пространства вещественных стабильных рациональных кривых, слой которого над
одной из точек отождествляется с целыми точками выпуклого многогранника, а
над общей точкой является множеством собственных векторов (называемых также
векторами Бете) квантовой магнитной цепочки Годена. Гипотетически,
построенное нами действие кактусной группы изоморфно ее же действию на
множестве старших элементов тензорного произведения кристаллов,
происходящему из общего формализма кограничных категорий (и это проверено в
частных случаях)
(http://arxiv.org/abs/1409.0131 [arxiv.org]).
Пятница, 20 марта 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
При включении внешнего магнитного поля в листе графена происходит
рождение электронно-дырочных пар. Их число равно спектральному потоку
гомотопии, связывающей невозмущенный (поле выключено) и возмущенный (поле
включено) решеточные гамильтонианы. Показано, что этот поток, в свою
очередь, равен потоку гомотопии оператора Дирака, аппроксимирующего
решеточный гамильтониан вблизи дираковских точек K и K' зоны Бриллюэна. Этот
последний вычисляется в топологических терминах. Более общо, мы вычисляем
спектральный поток семейства самосопряженных операторов типа Дирака с
классическими (локальными) граничными условиями на компактном римановом
многообразии с краем в предположении, что начальный и конечный операторы
семейства сопряжены автоморфизмом векторного расслоения. Доклад основан на
совместных исследованиях с М.И.Кацнельсоном.
Пятница, 13 марта 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Мы обсудим новые результаты о коммутирующих обыкновенных дифференциальных
операторах ранга два. В частности, мы укажем связь между собственными
функциями
одномерного оператора оператора Шредингера с полиномиальными потенциалами
степеней 3 и 4 и собственными функциями ранга два коммутирующих
дифференциальных
операторов. Мы также обсудим действие группы автоморфизмов первой алгебры
Вейля на
коммутирующих операторах с полиномиальными коэффициентами. Мы показываем,
что
в случае спектральных кривых рода один пространство орбит бесконечно, а
также, что
существуют гиперэллиптические спектральные кривые с бесконечным числом
орбит.
Результаты получены совместно с Б.Т.Сапарбаевой и А.Б.Жегловым.
Пятница, 6 марта 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Широкий класс квантовых R-матриц можно рассматривать как
некоммутативное (матричное) обобщение скалярных функций, используемых,
в частности, в парах Лакса классических интегрируемых систем.
Соответствующие тождества на R-матрицы дают возможность строить
многомерные обобщения линейных задач для классических интегрируемых
систем типа Калоджеро-Мозера и уравнений Пенлеве. Такие
линейные задачи схожи по структуре с уравнениями
Книжника-Замолодчикова-Бернара,
в которые добавлен спектральный параметр ?
постоянная Планка квантовой R-матрицы. Условие совместности для самих
уравнений КЗБ следует из аналога квантового уравнения
Янга-Бакстера на R-матрицы с неодинаковыми постоянными Планка.
Пятница, 27 февраля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Задача о поведении плоских сечений 3-периодических поверхностей была
поставлена С. П. Новиковым в 1982 году в связи с приложениями к теории
металлов. На сегодняшний день все интересные открытые вопросы в этой области
относятся к так называемому хаотическому случаю, когда полученная в сечении
траектория заметает плоскость, не имея явно выраженного асимптотического
направления. В частности, актуален вопрос о геометрии такого сечения,
например, насколько быстро эта кривая или семья кривых убегает на
бесконечность?
Мы обсудим как инструменты из теории динамических систем можно
использовать в этой на первый взгляд абсолютно топологической задаче. А
именно, мы рассмотрим обобщение перекладываний отрезков - системы изометрий
- и введем показатели Ляпунова для них, а потом покажем, как эти показатели
связаны со свойствами хаотической траектории. В частности, мы докажем для
специального семейства хаотических сечений, что скорость распространения
траектории по плоскости строго меньше 1 и больше половины.
Это совместная работа с Артуром Авилой (Париж) и Паскалем Юбером
(Марсель).
Пятница, 20 февраля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Hamiltonian reduction is used to project a trivially integrable system
on the Heisenberg double of $SU(n,n)$, to obtain a system of Ruijsenaars
type on a suitable quotient space. This system possesses $BC_n$ symmetry and
is shown to be equivalent to the standard three-parameter $BC_n$ hyperbolic
Sutherland model in the cotangent bundle limit.
19:00
Аннотация:
Кластерная алгебра задается с помощью ориентированного графа и позволяет
описывать алгебры функций на алгебраических многообразиях. Кластерные
алгебры появляются в геометрии, алгебре и комбинаторике, они тесно связаны с
интегрируемыми системами. В докладе будет введено понятие кластерных
супералгебр и дан ряд примеров. Комбинаторика графов становится гораздо
богаче и интереснее...
Пятница, 13 февраля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Действие алгебры фермионов на пространстве Фока позволяет
построить действие
нескольких других интересных алгебр на том же пространстве: алгебры
Гейзенберга,
алгебры Вирасоро и алгебры $gl_infty$. Бозон-фермионное соответствие
устанавливает
эквивалентность пространства Фока и пространства бозонов как модулей
алгебры
Гейзенберга, а также описывает действие алгебры фермионов на
пространстве бозонов в терминах вертексных операторов (порождающих
функций). Можно заметить, что в
конструкции этого соответствия решающую роль играют свойства,
эквивалентные тождеству
Якоби-Труди в симметрических функциях. В докладе мы обсудим описанную выше
конструкцию, покажем, как тождество Якоби-Труди общего вида может
быть использовано
для построения действия алгебры фермионов, и приведем примеры
тождеств типа Якоби-
Труди, естественно появляющиеся в различных аспектах теории представлений и
обобщениях симметрических функций.
Пятница, 12 декабря 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
RSK-соответствие (Robinson-Schensted-Knuth correspondence) это
алгоритм, задающий биекцию между неотрицательными целыми матрицами и
плоскими разбиениями. Изначально, Шенстед предложил алгоритм, задающий
биекцию между перестановками и парами стандартных таблиц Юнга
одинаковой формы. Кнут обобщил этот алгоритм с перестановок на
неотрицательные целые матрицы и установил биекцию с множеством пар
полустандарных таблиц Юнга. Робинсон раньше сделал то же самое. Эта
биекция играет важную роль в теории представлений и дает комбинаторные
аналоги двойственностей Шура-Вейля и Хоу, имеет непосредственное
отношение к мерам Шура, росту полимеров и др. В начале этого века
А.Кириллов предложил геометрическое RSK-соответствие,
а Науми и Ямада обнаружили, что геометрическое RSK-соответствие тесно
связано с дискретными уравнениями Хироты. В нашей работе с
В.И.Даниловым мы показали это в терминах октоэдральной рекурсии. В
этом году новый интерес с геометрическому RSK возник в контексте
функций Уиттекера и характеров геометрических кристаллов. После этого
краткого напоминания я расскажу, как определить RSK-соответствие на
двойных клетках Брюа алгебр Каца-Муди и
связь этого RSK с кластерным изоморфизмом колец функций на этих клетках.
Доклад по совместной работе с А.Беренштейном и А.Кирилловым.
Пятница, 5 декабря 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Это будет доклад о результатах статьи arXiv:1409.4726
и о проблеме алгоритмического распознавания квазиположительных кос.
.
Пятница, 28 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Группа Гротендика-Тейхмюллера --- одна из самых загадочных групп
в математикe. Она была введена В. Дринфельдом в контексте теории
деформаций Ли биалгебр, и нашла со времением применения в самых разных
областях математики, от теории чисел до Пуассоновой геометрии.
В совместной работе докладчика с Томасом Уилвахером и Рикардо
Кампосом обнаружено гомотопически нетривиальное действие группы
Гротендика-Тейхмюллера на Фробениусовых алгебрах и инволютивных Ли
биалгебрах --- математических структурах, допускающих обширные
приложения в математической физике и алгебраической топологии.
Пятница, 21 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Рассмотрим полиномиальное векторное поле в C^2 с комплексным временем:
? = P(x,y),
? = Q(x,y),
P и Q имеют степень n. Его фазовый портрет --- это голоморфное слоение в
С^2,
каждый лист слоения является (некомпактной) римановой поверхностью.
Множество таких слоений мы будем называть ?_n.
В типичном случае замыкание каждого листа --- всё C^2.
Мы доказали, что в ?_n плотны слоения, имеющие лист с большим количеством ручек (порядка n^2/2).
Кроме того, мы доказали, что у слоения с симметрией
P(x,y)=P(-x,y),
Q(x,y) = -Q(-x,y)
в типичном случае все листы имеют бесконечное число ручек.
Я сделаю обзор близких результатов о типичных слоениях из ?_n, и расскажу идеи доказательств наших результатов.
Пятница, 14 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В начале рассматривается матрично-модельное представление для производящей
функции чисел морфизмов Белого, чистых морфизмов Белого и двухпрофильных
морфизмов Белого. Все эти функции можно переписать в терминах ленточных
графов на римановых поверхностях и представить через соответственно
эрмитовую одноматричную модель с логарифмической добавкой в потенциал,
матричную модель Концевича-Пеннера и обобщенную модель Концевича, что еще
раз показывает, что эти модели суть тау функции иерархии КП. Далее эти
результаты обобщаются на гипергеометрические числа Гурвица с произвольным
(фиксированным) числом $n$ точек ветвления и двумя фиксированными
профилями. При некоторых ограничениях на соответствующие производящие
функции нам удается представить их в виде специальных цепочек матриц,
допускающих решение в терминах топологической рекурсии. В качестве примера
рассматривается первый нетривиальный случай $n=4$.
Пятница, 7 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В первой части доклада мы обсудим, так называемые, интегрируемые
функциональные уравнения, т.е. допускающие общие аналитические решения.
Такие уравнения возникают в различных областях математики.
Во второй части в центре внимания будут функциональные уравнения,
соответствующие локализациям эквивариантных родов Хирцебруха. Мы
обсудим функциональные уравнения задающие роды Хирцебруха жесткие на
однородных пространствах компактных групп Ли.
Все необходимые определения будут даны в ходе доклада.
Пятница, 24 октября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Похоже, что "странная двойственность" Арнольда на множестве
исключительных унимодальных особенностей была первым наблюдением
эффекта, который теперь называется зеркальной симметрией. Изначально
эта двойственность формулировалась в терминах чисел Габриэлова и
Долгачева особенностей. Характеристические многочлены операторов
монодромии двойственных особенностей связаны между собой, так
называемой, двойственностью Саито. Обобщением двойственности Арнольда
является двойственность Берглунда-Хюбша-Хеннингсона
(Berglund-H?bsch-Henningson) между, так называемыми, обратимыми
многочленами. (Обратимый многочлен - это квазиоднородный многочлен от
n переменных, содержащий ровно n мономов и такой, что веса его
переменных определяются однозначно. Последнее означает, что матрица
степеней переменных в мономах невырождена.) В работах Берглунда, Хюбша
и Хеннингсона эти многочлены возникали как суперпотенциалы в зеркально
симметричных моделях Ландау-Гинзбурга. В "орбифолдной постановке"
(Берглунда-Хюбша-Хеннингсона) эта двойственность ставит в соответствие
паре, состоящей из обратимого многочлена и некоторой (конечной,
абелевой) группе его симметрий, некоторую двойственную пару. Будет
рассказано о некоторых двойственностях связанных с действиями групп
симметрий на слоях Милнора обратимых многочленов (т.е. их неособых
множествах уровня). Они включают совпадение некоторых инвариантов
орбифолдного типа и эквивариантную версию двойственности Саито.
Доклад основан на совместных работах с В.Эбелингом.
(Сокращенная версия того же доклада будет сделана утром того
же дня на конференции в Сколково.)
Пятница, 10 октября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В работе 1995 года Н. Хитчин с помощью твисторных методов
построил новые решения уравнений Эйнштейна. Он опирался на результаты
К.Тода, который годом раньше показал, что антиавтодуальные эйнштейновы
SU(2)-инвариантные метрики на 4-мерных многообразиях при некоторых
дополнительных условиях сводятся к уравнению Пенлеве-6 на независимую
переменную, параметризующую SU(2)-орбиты. Свои решения Хитчин выразил
весьма громоздкими формулами в терминах тета-функций; связь с
геометрией семейств эллиптических кривых тогда не была им прояснена.
Однако для случая алгебраических решений Пенлеве-6 эта связь
Хитчиным же была вскрыта в работе 2004 года и оказалась выразимой в
терминах теоремы Понселе о замыкании. В докладе соответствующее
изомонодромное семейство будет предъявлено в простейшем случае, в
котором роль пространства твисторов играет проективизация пространства
кубических многочленов.
Совокупность упомянутых (и некоторых других) идей и конструкций
указывает на существование класса Эйнштейновых многообразий, имеющих
арифметическую природу и полностью описываемых детскими рисунками.
Возможно, в заключение удастся обсудить некоторые физические
спекуляции, связанные с этими многообразиями.
Пятница, 3 октября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Мы обсудим концепции симметрии, ко-симметрии, законов сохранения и
формальных операторов рекурсии. Будет выведен ряд необходимых условий
интегрируемости. Он приводит к интересным и пока нерешенным проблемам
разностной алгебры.
Пятница, 19 сентября 2014, 17:20, ауд. 309
Аннотация:
В докладе будет доказано, что классический синус-процесс Дайсона и,
более общо, процесс, отвечающий проектору с интегрируемым ядром,
квази-инвариантен относительно группы диффеоморфизмов прямой с
компактным носителем.
Доклад основан на препринте http://arxiv.org/pdf/1409.2068v1.pdf
Пятница, 12 сентября 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Под статсуммой (partition function) в широком смысле в
математической физике часто подразумевают произвольный формальный
степенной ряд, обычно от бесконечного числа переменных. Коэффициенты
этого ряда могут иметь физический, комбинаторный, или
агебро-геометрический смысл. Мы рассмотрим класс таких рядов,
объединенных тем свойством, что для них выполняются так называемые
соотношения топологической рекурсии (по Чехову-Эйнару-Орантену). Этот
класс рядов включает в себе, в частности, всевозможные потенциалы
Гроова-Виттена. В докладе мы попытаемся описать геометрию, стоящую за
формальными манипуляциями топологической рекурсии. Оказывается,
пространство рассматриваемых рядов параметризуется точками
бесконечномерного лагранжева грассманиана. Отсюда следует, что это
пространство обладает большой группой симметрии: на нем действует
бесконечномерная симплектическая группа. Действие этой группы
продолжает действие Гивенталя на пространстве формальных потенциалов
Громова-Виттена.
