В осеннем семестре 2017 года продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
Пятница, 8 декабря 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Я расскажу часть совместной работы с Хироши Иритани 'Gamma conjectures via mirror symmetry'. Гамма-класс определяется как характеристический класс, ассоциированный по Хирцебруху с гамма-функцией Эйлера, это топологический инвариант комплексного многообразия. Гамма-гипотезы, выдвинутые мной с Голышевым и Иритани, утверждают что гамма-класс многообразия Фано можно увидеть, изучая асимптотики решений его квантового дифференциального уравнения. Эвристически гамма-класс получается дзета-регуляризацией S^1-эквивариатного класса Эйлера от половинки нормального расслоения в пространстве свободных петель к подпространству постоянных петель. Про половинку можно думать как про петли, ограничивающие голоморфный диск. В случае комплексного проективного пространства мы показываем, что гамма-гипотезы можно доказать, основываясь на этой эвристике и заменяя пространство петель подходящей алгебраической версией.
Маурисио Ромо, в свою очередь, расскажет про то, как гамма-класс естественно возникает при изучении статсумм калибровочных линейных сигма-моделей на двумерной полусфере.
Пятница, 1 декабря 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Плоская алгебраическая кривая, многоугольник Ньютона которой содержит d целочисленных точек, может быть задана d точками комплексной плоскости, через которые она проходит. Тогда ее коэффициенты, как функции от наборов координат этих точек, коммутируют относительно канонической скобки Пуассона, заданной парой координат, соответствующей любой из этих точек. В более слабой форме этот факт обнаружен в работе О.Бабелона-М.Талона 2002 года. Мы сформулируем обобщение указанного факта, не обязательно связанное с кривыми, и докажем соотношения, из которых, в частности, следует сформулированное выше утверждение об инволютивности коэффициентов. В числе примеров - интегрируемые системы, связанные с интерполяционными полиномами Лагранжа и Эрмита, система Неймана, редукция систем Хитчина ранга 2 рода 2, системы, связанные с моделями Вейерштрасса кривых (версальными деформациями особенностей).
Пятница, 24 ноября 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Гипотеза о кузнечных мехах утверждает, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. Она была доказана И.Х. Сабитовым (1996) для трёхмерного евклидова пространства и докладчиком (2012) для евклидовых пространств произвольной размерности. В 1979 году Р. Коннелли выдвинул так называемую сильную гипотезу о кузнечных мехах, утверждающую, что любой изгибаемый многогранник остаётся равносоставленным себе в процессе изгибания. Напомним, что согласно классическому результату М. Дена (дающему решение третьей проблемы Гильберта) многогранники равного объёма не всегда равносоставлены. Препятствие к равносоставленности называется в настоящее время инвариантом Дена.
Мы покажем, что инвариант Дена любого изгибаемого многогранника в евклидовом пространстве произвольной размерности остаётся постоянным в процессе изгибания. Для евклидовых пространств размерностей 3 и 4 известно, что многогранники с равными объёмами и инвариантами Дена всегда равносоставлены. Поэтому из нашего результата вытекает сильная гипотеза о кузнечных мехах в этих размерностях.
Доказательство опирается на изучение аналитического продолжения инварианта Дена на комплексификацию конфигурационного пространства изгибаемого многогранника.
Доклад основан на совместной работе с Л.С. Игнащенко.
Пятница, 17 ноября 2017, 17:00, ауд. 309
Абстракт
Э. Жиру ввёл понятие выпуклой поверхности, которое оказалось мощным
инструментом для различения контактных структур на 3-многообразии.
Мы с И. А. Дынниковым вводим комбинаторный аналог выпуклой поверхности понятие зеркальной диаграммы, которое позволяет различать лежандровы узлы в трёхмерной сфере за разумное компьютерное время. Будет дана справка по более ранним подходам к распознаванию узлов: прямоугольным диаграммам и страничному подходу.
Пятница, 10 ноября 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Наиболее известной из классических обратных задач монодромии является проблема Римана-Гильберта -- задача о построении в тривиальном расслоении на сфере Римана логарифмической связности с заданными особенностями и представлением монодромии. В настоящее время наиболее популярными направлениями работ в данной области, в основном из-за многочисленных приложений в теоретической физике, являются анализ уравнений Пенлеве и исследование изомонодромных деформаций. В докладе планируется дать обзор основных конструкций и результатов связанных с обратными задачами монодромии.
Пятница, 3 ноября 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
В теории струн было предсказано число кривых на трехмерной квинтике X. Более точно, инварианты Громова-Виттена X совпадают с периодами голоморфных форм на комплексном многообразии Y - «зеркале» X. Равенство производящих функций для периодов и инвариантов Громова-Виттена физики назвали зеркальной симметрией.
Гипотеза о квинтике 1991 г. была строго обоснована Гивенталем через пять лет. Гивенталь заметил, что проще сравнивать геометрию пространства модулей симплектических структур на X и комплексных структурына Y. А именно, он показал, что полубесконечная вариация структур Ходжа на производном пространстве деформаций X (A-вариация) совпадает с полубесконечной вариаций структур Ходжа на производном пространстве деформаций Y (B-вариацией).
Позднее, Концевич ввел понятие гомологической зеркальной симметрии: равенство производной категории Фукая X и производной категории когерентных пучков Y. Каждой достаточно хорошей dg-категории можно сопоставить ее пространство деформаций и полубесконечную вариацию структур Ходжа на нем. Фольклерный результат утверждает, что для категории когерентных пучков получается B-вариация. Основная мотивация гипотезы Концевича - предположение о том, что для категории Фукая получается A-вариация. Эта теоремы была доказана только в прошлом году в статье Ганатры, Перуца и Шеридана.
В своих двух докладах я сформулирую зеркальную симметрию структур Ходжа и покажу, почему из нее следует равенство производящих рядов для подсчета кривых и периодов. После этого, я сопоставлю каждой триангулированной, dg-оснащенной категории вариацию структур Ходжа. В последней части я определю категорию Фукая и расскажу доказательство теоремы Ганатры, Перутца и Шериадана.
Пятница, 27 октября 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
В теории струн было предсказано число кривых на трехмерной квинтике X. Более точно, инварианты Громова-Виттена X совпадают с периодами голоморфных форм на комплексном многообразии Y - «зеркале» X. Равенство производящих функций для периодов и инвариантов Громова-Виттена физики назвали зеркальной симметрией.
Гипотеза о квинтике 1991 г. была строго обоснована Гивенталем через пять лет. Гивенталь заметил, что проще сравнивать геометрию пространства модулей симплектических структур на X и комплексных структурына Y. А именно, он показал, что полубесконечная вариация структур Ходжа на производном пространстве деформаций X (A-вариация) совпадает с полубесконечной вариаций структур Ходжа на производном пространстве деформаций Y (B-вариацией).
Позднее, Концевич ввел понятие гомологической зеркальной симметрии: равенство производной категории Фукая X и производной категории когерентных пучков Y. Каждой достаточно хорошей dg-категории можно сопоставить ее пространство деформаций и полубесконечную вариацию структур Ходжа на нем. Фольклерный результат утверждает, что для категории когерентных пучков получается B-вариация. Основная мотивация гипотезы Концевича - предположение о том, что для категории Фукая получается A-вариация. Эта теоремы была доказана только в прошлом году в статье Ганатры, Перуца и Шеридана.
В своих двух докладах я сформулирую зеркальную симметрию структур Ходжа и покажу, почему из нее следует равенство производящих рядов для подсчета кривых и периодов. После этого, я сопоставлю каждой триангулированной, dg-оснащенной категории вариацию структур Ходжа. В последней части я определю категорию Фукая и расскажу доказательство теоремы Ганатры, Перутца и Шериадана.
Пятница, 6 октября 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Подход, связанный с исследованием средних от операторов на пространстве полубесконечного внешнего произведения, оказался очень плодотворен при изучении различных типов чисел Гурвица. В частности, с помощью данного подхода удалось доказать, что производящие функции для различных типов таких чисел воспроизводятся с помощью процедуры топологической рекурсии на спектральных кривых.
В докладе будет рассказано о применении данного подхода к, на первый взгляд, сильно отличающемуся случаю: раскрашенным инвариантам ХОМФЛИ торических узлов. Оказывается, что с помощью упомянутого подхода можно доказать важное свойство полиномиальности коэффициентов соответствующей производящей функции; при этом, хотя и общее применение метода похоже на случай чисел Гурвица, возникают интересные новые сложности.
Доказательство данного факта о полиномиальности, в свою очередь, ведет к доказательству соответствующего случая топологической рекурсии, однако это уже лежит за рамками данного доклада.
Доклад основан на совместной работе с А.Пополитовым, А.Слепцовым и С.Шадриным
Пятница, 29 сентября 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Подход, связанный с исследованием средних от операторов на пространстве полубесконечного внешнего произведения, оказался очень плодотворен при изучении различных типов чисел Гурвица.
В частности, с помощью данного подхода удалось доказать, что производящие функции для различных типов таких чисел воспроизводятся с помощью процедуры топологической рекурсии на
спектральных кривых.
В докладе будет рассказано о применении данного подхода к, на первый взгляд, сильно отличающемуся случаю: раскрашенным инвариантам ХОМФЛИ торических узлов. Оказывается,
что с помощью упомянутого подхода можно доказать важное свойство полиномиальности коэффициентов соответствующей производящей функции; при этом, хотя и общее применение метода
похоже на случай чисел Гурвица, возникают интересные новые сложности.
Доказательство данного факта о полиномиальности, в свою очередь, ведет к доказательству соответствующего случая топологической рекурсии, однако это уже лежит за рамками данного доклада.
Доклад основан на совместной работе с А.Пополитовым, А.Слепцовым и С.Шадриным.
Пятница, 22 сентября 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Предполагается рассказать (с доказательством) свежий результат, принадлежащий С.Чмутову, М.Казаряну
и докладчику. Теорема утверждает, что результат усреднения по графам некоторого их инварианта является
- после перенормировки переменных - тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили. Инвариант,
о котором идет речь, называется симметризованным хроматическим многочленом Стенли. Он обобщает
обычный хроматический многочлен, перечисляющий правильные раскраски вершин данного графа в
данное число цветов, и зависит от многих переменных. На самом деле, то же самое утверждение
верно для большого класса инвариантов графов, а именно, инвариантов со значениями в кольце многочленов
от бесконечного числа переменных, осуществляющих градуированный гомоморфизм из алгебры Хопфа графов
в алгебру Хопфа многочленов. Будут даны все необходимые определения, а также сформулированы
возникающие задачи.
Пятница, 2 июня 2017, 17:00, ауд. 309 Заседание отменяется!
Аннотация
В докладе обсуждается определение декорированных многообразий характеров, связанных с представлениями фундаментальных группоидов, построенных по аффинным поверхностям данных монодромии для уравнений Пенлеве и согласованных с процедурой конфлюэнции полюсов. Строятся Пуассоновы алгебры на таких поверхностях и обсуждаются различные "квантования" этих алгебр.
Доклад основан на совместных работах (частично в состоянии обсуждения) с Мартой Маззокко и Леонидом Чеховым. Ref. arXiv:1511.03851 (publ. IMRN 28 ноября 2016) i arXiv:1705.01447
Пятница, 28 апреля 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Доклад основан на недавних препринтах автора arXiv:1502.01862v3 и arXiv:1606.00453v2.
Для любого хаусдорфова пространства X его n-я симметрическая степень Sym^n X есть по определению фактор-пространство X^n/S_n. Если X=M^2 есть Риманова поверхность, то Sym^n M^2 является 2n-мерным топологическим многообразием без края, которое обладает естественной структурой комплексного многообразия (без особенностей).
Если M^2 есть компактная Риманова поверхность без проколов, то Sym^n M^2 является гладким проективным алгебраическим многообразием. В случае же, когда M^2 есть компактная Риманова поверхность с проколами, то Sym^n M^2 является гладким квазипроективным алгебраическим многообразием. Несложно убедиться, что Sym^n C = C^n и Sym^n CP^1 = CP^n.
Пусть M^2_g - компактная Риманова поверхность без проколов рода g>=1. Знаменитая теорема И.Г.Макдональда 1962 года вычисляет в явном виде целочисленное кольцо когомологий H^*(Sym^n M^2_g;Z). Во-первых, доказывается, что это кольцо не имеет кручения. Далее, в свободном градуировано коммутативном кольце E_{n,g} над Z (внешняя алгебра тензор алгебра многочленов) от 2g одномерных образующих x_1,..., x_{2g} и одной двумерной образующей y берется идеал I_{n,g}, порожденный определенным набором целочисленных полиномов. Теорема И.Г.Макдональда утверждает изоморфизм колец E_{n,g}/I_{n,g} = H^*(Sym^n M^2_g;Z).
Однако, оригинальное доказательство И.Г.Макдональда, как несложно убедиться, содержало три серьезных пробела. Эти пробелы были устранены в работе малоизвестного математика Р.Сероула 1972 года (31 страница текста). В работе автора arXiv:1502.01862v3 было дано другое, более короткое и более концептуальное, устранение этих трех пробелов.
В стабильной ситуации n>=2g-1, как было показано И.Г.Макдональдом, весь идеал I_{n,g} может быть порожден только одним полиномом.
В нестабильной ситуации 2 <= n <= 2g-2, у И.Г.Макдональда также присутствовало описание минимального набора образующих идеала I_{n,g}. Однако, как было замечено по крайней мере в 2002 году, а может быть и раньше, соответствующее утверждение И.Г.Макдональда неверно. В работе автора arXiv:1502.01862v3 найден минимальный набор образующих идеала I_{n,g} в нестабильной ситуации 2<= n <= 2g-2. Пусть M^2_{g,k} и M^2_{g',k'} - компактные Римановы поверхности родов g и g', c k и k' проколами (g, g' >= 0, k, k' >= 1). Тогда для любого n>=2 открытые многообразия Sym^n M^2_{g,k} и Sym^n M^2_{g',k'} гомотопически эквивалентны iff 2g+k = 2g'+k' (это простой факт).
В 2003 году сербским математиком Р.Живалевичем и его учениками В.Груичем и П.Благоевичем была сформулирована следующая
Гипотеза. Пусть 2g+k = 2g'+k' и g\ne g'. Тогда для любого n>=2 открытые многообразия Sym^n M^2_{g,k} и Sym^n M^2_{g',k'} не гомеоморфны.
Эта гипотеза была ими доказана в 2003 году в случае n<= 2max{g,g'}. В случае n > 2max{g,g'} эта гипотеза оставалась полностью открытой до препринта автора arXiv:1606.00453v2, в котором она была доказана в полной общности. Будет приведена схема доказательства этой гипотезы.
Пятница, 21 апреля 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Пусть полином f(x_1,\dots,x_n) имеет в нуле изолированную критическую точку. Часто такой полином имеет нетривиальную группу симметрий G --- подгруппу GL_n, все элементы g которой удовлетворяют f(g \cdot (x_1,\dots,x_n)) = f(x_1,\dots,x_n). В частности все квазиоднородные полиномы f имеют нетривиальную группу симметрий.
Паре (f,G) мы сопоставим эквивариантную алгебру Якоби, являющуюся обобщением локальной алгебры f. С категорной точки зрения эта алгебра предположительно изоморфна когомологиям Хохшильда катерогии G--эквивариантных матричных факторизаций полинома f.
Мы предложим определение эквивариантной алгебры Якоби, обоснуем естественность определения для полиномов f типа ADE, переформулируем странную двойственность Арнольда с помощью этой алгберы и обсудим связь с категорией матричных факторизаций.
Пятница, 14 апреля 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
В данной работе мы переписываем конструкцию для квантовой замкнутой ориентированной бозонной струны для другого класса метрик. В 80тых годах 20го века в работах Полякова, Белавин Книжника и др. обсуждается модель бозонной струны. Статистическая сумма для бозонной струны сводится к континуальному интегралу по пространству всех римановых метрик на замкнутой компактной поверхности рода g и по пространству всех вложений этой поверхности в d-мерное пространство. Пространство интегрирования бесконечномерное. Но в пространстве всех метрик есть другой интересный класс. Это кусочно плоские метрики. Множество кусочно плоских метрик, так же как и множество римановых метрик, всюду плотно в пространстве всех метрик на поверхности.
Предлагается буквально повторить всю конструкцию для поверхностей, склеенных из плоских треугольников. Тогда весь континуальный интеграл сводится к сумме по триангуляциям. Суммируются интегралы по конечномерным пространствам кусочно плоских метрик с данной комбинаторной структурой. Так же как и в конструкции Белавина-Книжника-Полякова, на пространстве кусочно плоских метрик и на пространстве кусочно плоских вложений возникает нетривиальная метрика. Действие Полякова переписывается в терминах кусочно плоских метрик. В конструкции есть аналог группы диффеоморфизмов и конформной группы. Каждый интеграл сводится к интегралу по пространству модулей алгебраических кривых с отмеченными точками. Будет подробно разобран пример триангуляции тора, склеенного из двух треугольников. Для этого примера мы посчитаем меру на пространстве метрик и меру на пространстве вложений. В этом примере аналогом группы диффеоморфизмов является $PSL_2(Z)$, а интеграл сводится к интегралу по пространству модулей кривых рода 1 с 1ой отмеченной точкой $M_{1,1}$. Это коечный интеграл и его можно посчитать.
Для понимания никаких предварительных знаний про теорию струн не требуется.
Пятница, 7 апреля 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
В докладе будет разобрано доказательство (arXiv:1307.4729v2) гипотезы Бушара-Мариньо, утверждающей, что производящие функции связных простых чисел Гурвица можно получить применением процедуры топологической рекурсии на кривой Ламберта.
Пятница, 31 марта 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Мы рассматриваем гиперэллиптические кривые рода g в модели, имеющей 2g параметров. Абелевы функции на якобианах таких кривых мы называем гиперэллиптическими функциями рода g. В докладе будет представлено явное решение задачи дифференцирования гиперэллиптических функций рода g по параметрам кривой в случае g =3. Будет построена алгебра Ли дифференцирований этих функций. Этот результат является трёхмерным аналогом результата Ф.Г. Фробениуса и Л.Штикельбергера, построивших такую алгебру Ли в случае g = 1.
Пятница, 24 марта 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Взятие максимума в качестве аддитивной операции и сложение в качестве мультипликативной превращают вещественные числа в полуполе, называемое тропическим. Оказывается, над этим полуполем можно развивать алгебраическую геометрию, в которой исчислительные вопросы чисто комбинаторны, а ответы на них совпадают с ответами в "настоящей" алгебраической геометрии. Доказанные случаи такого совпадения называются тропическими теоремами соответствия и дают, таким образом, новый подход к задачам исчислительной геометрии.
Я расскажу про самый известный результат такого рода -- тропическую теорему соответствия Михалкина, комбинаторно вычисляющую инварианты Громова-Виттена и Вельшинже проективной плоскости. Также я покажу, как проинтерпретировать на языке тропической геометрии некоторые ранее известные результаты -- в частности, конструкцию патчворкинга Виро для построения вещественных алгебраических кривых с заданной топологией и формулу Кушниренко-Бернштейна для числа корней общей системы полиномиальных уравнений.
Пятница, 17 марта 2017, 17:00, ауд. 310
Пятница, 10 марта 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Пары Белого рода 2 минимальных возможных степеней (в "чистом" варианте -- 8, в "нечистом" -- 5) известны довольно давно. Пары степени 8 были вычислены Н. М. Адриановым и докладчиком, а степени 5 -- Б. Бёрчем. Эти пары представляют собой изолированные точки в соответствующих пространствах Гурвица или в пространстве модулей кривых рода 2. В докладе будут предъявлены недавно найденные докладчиком деформации этих пар, то есть семейства кривых рода 2 вместе с рациональными функциями на них соответствующих степеней, имеющих 4 критических значения; упомянутые пары Белого возникают при слиянии этих критических значений. Будут обсуждены проблемы геометрии пространств модулей, связанных с найденными деформациями.
Пятница, 3 марта 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Ренормализационная группа - это некоторый способ учета и работы с
бесконечностями/расходимостями в функциональном интеграле квантовой теории поля.
Оказывается, что в матричной теории поля при большом N уравнения ренормализационной группы могут быть записаны в гамильтоновой форме.
Более того, в рассматриваемой теории при низких энергиях эта
гамильтонова механическая система сводится к точно решаемой системе Бюрджерса-Хопфа. В докладе будет рассказано о том, что такое ренормализационная группа и об описанном здесь явлении.
Пятница, 17 февраля 2017, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Число Гурвица--Севери --- количество плоских нодальных кривых $C\subset CP^2$ заданного рода g и степени d, для которых проекция \pi_p: C --> CP^1 кривой из точки p \in CP^2 имеет заданный набор особых значений (различного типа). Например, простое число Гурвица--Севери рода 0 и степени 3 это количество плоских нодальных кубик, у которых фиксированы положения всех 4 касательных, проведенных через точку p, и положение прямой, соединяющей точку p с (единственным) нодом. Точка p сама может лежать на кривой --- в этом случае в задаче появляется дополнительный
параметр \el$ (глубина особенности кривой в точке p).
В докладе, основанном на совместной работе с Б.Шапиро (arXiv:1604.06935), будет рассказано о вычислении чисел Гурвица--Севери при условии, что род, степень и параметр \ell удовлетворяют определенным линейным неравенствам.
Пятница, 10 февраля 2017, 17:00, ауд. 310
Пятница, 27 января 2017, 17:00, ауд. 309
Abstract
We prove that r-spin Hurwitz numbers depend quasi-polynomially on the ramification profile. We also prove that (0,1)- and (0,2)-generating functions are the correct ones for the suggested spectral curve. What remains to be done (and this is work-in-progress) is the proof of the quadratic abstract loop equation near each branch point of the spectral curve.
Пятница, 9 ДЕКАБРЯ 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация
Доклад будет посвящен теории коммутирующих скалярных и матричных дифференциальных операторов.
Будет рассказано о новых примерах скалярных коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 и о явном виде их общих собственных функций.
Мы обсудим новые результаты в теории матричных коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 и векторного ранга (2,2).
Будет приведен эффективный метод построения таких операторов.
С помощью этого метода удается построить первые явные примеры матричных коммутирующих операторов ранга 2 произвольного рода.
Пятница, 25 ноября 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация
В докладе пойдет речь о задаче построения инвариантов 2-узлов, то есть классов изотопий вложений 2-мерных поверхностей в четырехмерное пространство.
Будет дан краткий экскурс в метод Картера, Саито и др. Кроме этого, будет изложен метод работ Корепанова, Шарыгина и Талалаева построения квазиинвариантов 2-узлов
с помощью статистических моделей, основанных на уравнении тетраэдров Замолодчикова.
Пятница, 18 ноября 2016, 17:00, ауд. 309
Абстракт
В недавней работе Гросса, Хакинга, Кила и Концевича пострен канонический базис и показано, что для большой клетки Брюа (аффинное многообразие Калаби-Яу) тропический потенциал Ландау Гинзбурга определяет конус, параметризующий этот базис. Беренштейн и Каждан ввели потенциал для построения геометрических кристаллов.
Я расскажу как эти потенциалы связаны между собой и со структурой кристалла Кашивары на каноническом базисе Люстига. (По совместной работе с Ф.Генцом и Б.Шуманн)
Пятница, 11 ноября 2016, 17:00, ауд. 309
Абстракт
Матричные дивизоры введены А.Вейлем в 1938 г. и считаются хронологически первым подходом к теории голоморфных векторных расслоений на римановых поверхностях, где они играют ту же роль, что и обычные дивизоры в теории линейных расслоений. В дальнейшем идею матричных дивизоров поддержал А.Н.Тюрин в работах 1964-66 гг. по классификации голоморфных векторных расслоений на кривой произвольного рода. Его классификация состоит из двух частей: локальная теория матричных дивизоров и редукция к ней классификации векторных расслоений. На эти работы Тюрина не ссылались из-за большого количества недоказанностей и формальных ошибок в них. В дальнейшем теория повернула в сторону методов униформизации (Нарасимхан-Сешадри) и расслоений с дополнительными структурами (Сешадри - параболические структуры, Хитчин - расслоения Хиггса). В 1978 г. интерес к работам Тюрина возродили Кричевер и Новиков в связи с интегрированием уравнений КП и нелинейного Шредингера; они ввели термин "параметры Тюрина оснащенных расслоений". Мой интерес к работам А.Н.Тюрина вызван 1) желанием разобраться в них и обобщить на расслоения с полупростой структурной группой и 2) наблюдением, что матричные дивизоры тесно связаны с алгебрами операторов Лакса, а следовательно и с конечномерными интегрируемыми системами.
Я объясню соответствие между матричными дивизорами и расслоениями и в дальнейшем буду рассказывать о локальной теории матричных дивизоров, не касаясь второй части - классификации расслоений. В частности я объясню, почему матричные дивизоры надо рассматривать со значениями в группах Шевалле, сформулирую теорему о каноническом виде матричного дивизора и опишу связь с алгебрами операторов Лакса.
Пятница, 14 октября 2016, 17:00, ауд. 309
Абстракт
Детские рисунки Гротендика (они же ленточные графы, или вложенные графы, или функции Белого) - комбинаторный объект, который встречается во многих задачах математической физики и теории пространств модулей. Производящая функция, перечисляющая детские рисунки, обладает большим количеством свойств интегрируемости: она удовлетворяет уравнением иерархии КП, соотношениям Вирасоро, а также соотношениям топологической рекурсии. Все эти свойства доставляют довольно эффективный инструмент для ее вычисления. В частности, оказывается, что после некоторой явно заданной замены переменных бесконечный производящий ряд для чисел рисунков фиксированного рода сводится к многочлену. Иными словами, весь ряд однозначно определяется лишь конечным набором параметров - коэффициентов этого многочлена.
Пятница, 7 октября 2016, 17:00, ауд. 309
Абстракт
Содержание доклада будет носить по большей части гипотетический характер.
Конструкция Бар-Натана и Концевича позволяет строить инварианты узлов конечного
порядка по алгебрам Ли. Есть основания полагать, что эта конструкция связана с
абстрактной комбинаторной структурой, которая называется дельта-матроидом.
Дельта-матроиды были введены Буше в 80-х годах прошлого века.
Они соотносятся с обычными матроидами так же, как лагранжев грассманиан соотносится
с обычным грассманианом и вложенные графы с обычными графами.
В докладе будут изложены частичные результаты, указывающие на существование связи. Предварительных сведений для понимания доклада не требуется.
Пятница, 30 сентября 2016, 17:00, ауд. 309
Абстракт
В докладе будут рассмотрены определенные соотношения между
шестнадцатимерными решеточными и римановыми тэта-константами, которые оказываются важны для построения суперструнных мер на пространствах модулей алгебраических кривых вплоть до родов 4 и 5. Суперструнные НШР-меры возникают при попытке вычислить пертурбативные амплитуды в теории суперструн в формализме Невё-Шварца-Рамона.
Пятница, 23 сентября 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Важную роль в теории особенностей играет группа исчезающих (ко)гомологий с рядом дополнительных структур на ней, в частности, с целочисленной решеткой (решеткой Милнора), целочисленным оператором монодромии, формой пересечения, ... Фан, Джарвис и Руан (H.Fan, T.Jarvis и Y.Ruan) предложили, так называемую, квантовую теорию особенностей (иначе называемую FJRW-теорией; FJR здесь означает Фан-Джарвис-Руан, W - Witten), которая рассматривает квазиоднородные функции с изолированными критическими точками в начале координат вместе с абелевыми группами симметрий. Ключевую роль в ней играет квантовая (орбифолдная) группа когомологий (с комплексными коэффициентами) с некоторыми дополнительными структурами на ней (например, невырожденной квадратичной формой на ней). Вещественные и целочисленные структуры на квантовой группе когомологий в рамках квантовой теории особенностей не обсуждаются. Мы предлагаем орбифолдные версии оператора монодромии, решетки Милнора, формы Зейферта и формы пересечений на квантовой группе когомологий.
Доклад основан на совместной работе с В.Эбелингом (W.Ebeling).
Пятница, 16 сентября 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Гипотезы зеркальной симметрии предполагают наличие изоморфизмов между
фробениусовыми структурами разной природы - А и Б моделями. Одним из следствий глобального
понимания этой гипотезы (и Б модели в частности) является другая гипотеза - о Калаби-Яу / Ландау-Гинзбург соответствии, предполагающая наличие "связи" между разными А моделями. Такой "связью" является в частности действие на пространстве всех фробениусовых структур - действие Гивенталя в частности. Мы обсудим вопрос наличия таких действий на конкретных примерах и применения современных гипотез зеркальной симметрии в классических задачах.
Пятница, 13 мая 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Доклад посвящен изучению топологических инвариантов
бездивергентных векторных полей (т.е. несжимаемых течений) на
компактном 3-мерном многообразии. Мы изучаем эту задачу в двух
постановках: (О) для произвольных несжимаемых течений, (И) для
интегрируемых несжимаемых течений.
(О) В математической физике актуальным является изучение топологических инвариантов магнитных полей, т.е. инвариантов бездивергентных векторных полей (называемых также несжимаемыми течениями) на компактной области 3-мерного евклидова пространства. Хорошо известен инвариант Хопфа --- спиральность. Согласно теореме В.И. Арнольда (1973), спиральность равна усредненному коэффициенту зацепления интегральных траекторий. Докладчику удалось доказать, что любой топологический инвариант несжимаемых течений, имеющий регулярную и непрерывную относительно $C^1$-топологии производную, выражается через спиральность.
(И) В интегрируемом случае известен результат А.В. Болсинова и А.Т. Фоменко (1994). Они построили полный инвариант траекторной эквивалентности интегрируемых 3-мерных бездивергентных полей. Докладчиком изучается следующий вопрос. Существуют ли продолжимые траекторные инварианты на том или ином страте Максвелла в пространстве интегрируемых бездивергентных полей (т.е. инварианты Болсинова-Фоменко на пространстве систем на соответствующем 3-атоме, которые можно непрерывно продолжить в некоторую окрестность данного страта Максвелла до инварианта траекторной эквивалентности)? Будут сформулированы геометрические условия существования продолжимых траекторных инвариантов, построены примеры.
Пятница, 29 апреля 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Теорема Радона утверждает:
любые $d+2$ точки в $\R^d$ можно разбить на два множества, выпуклые
оболочки которых пересекаются.
Ее обобщает теорема Тверберга: любые $(d+1)(r-1)+1$ точки в $\R^d$ можно разбить на $r$ множеств, выпуклые оболочки которых имеют общую точку.
Теоремы Тверберга и Борсука-Улама обобщает следующая гипотеза. Топологическая гипотеза Тверберга. Для любого непрерывного отображения $(d+1)(r-1)$-мерного симплекса в $\R^d$ существуют $r$ попарно непересекающиеся граней симплекса, образы которых имеют общую точку.
Эта гипотеза доказана в случае, когда $r$ --- степень простого. Контрпримеры для других $r$ получены в 2015 году (Озайдын, Громов, Благоевич, Циглер, Фрик, Вагнер, Мабийяр, Аввакумов и докладчик). Их построение и доказательство --- пример красивого и плодотворного взаимодействия комбинаторики, алгебры и топологи. Будет приведено упрощенное изложение важнейших идей, доступное неспециалистам.
Пятница, 22 апреля 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
I will talk about determinantal processes formed by eigenvalues and singular
values of products
of complex Gaussian matrices. Such determinantal processes can be understood
as natural
generalizations of the classical Ginibre and Laguerre ensembles of Random
Matrix Theory,
and the correlation kernels of these processes can be expressed in terms of
special functions/double contour integrals.This enables to investigate
determinantal processes for products of random matrices in different
asymptotic regimes, and to compute different probabilistic quantities of
interest. In particular, I will present the asymptotics for the
hole probabilities, i.e. for probabilities of the events that there are
no particles in a disc of radius r with its center at 0, as r goes
to infinity. In addition, I will explain how the gap probabilities for
squared singular values of products of random complex matrices can be
described in terms of completely integrable
Hamiltonian differential equations, and how to interpret these Hamiltonian
differential equations as the monodromy preserving deformation equations of
the Jimbo, Miwa, Mori, Ueno and Sato theory.
Finally, I will discuss certain time-dependent determinantal
processes related to products of random matrices.
Пятница, 1 апреля 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В работе 2010 Поль Норбери построил дискретный аналог теории
Виттена-Концевича-Пеннера, заменив произвольные метризованные ленточные
графы на ленточные графы с натуральными длинами рёбер. Как показал Норбери,
взвешенные количества таких объектов с фиксированными наборами "периметров"
(квази)полиномиально зависят от периметров, и соответствующие полиномы несут
в себе информацию о наиболее интересных гомологических инвариантах
пространств модулей. Их свободные члены совпадают с орбиобразными эйлеровыми
характеристиками пространств модулей, а пересечения характеристических
классов тавтологических расслоений (на компактификациях Делиня- Мамфорда)
выражаются через однородные компоненты старшей степени.
В докладе будут приведены рекуррентные соотношения, определяющие
многочлены Норбери. Затем будет напомнена связь между ленточными графами и
парами Белого - объектами, имеющими смысл над произвольным полем. Будет
обосновано предположение о том, что гомологии пространств модулей кривых
(над полем любой характеристики) выражаются через количества пар Белого.
Будут предъявлены вычисления для простейшего случая общей теории (кривые
рода 1 с 1 отмеченной точкой), в котором всё удалось посчитать; ответ
формулируется в терминах семейств Фрида над модулярными кривыми и
воспроизводит решение задачи Абеля (1826) о квазиэллиптических интегралах.
Доклад завершится кратким обзором недавних результатов о гомологиях
пространств модулей, полученным "подсчётом кривых" над конечными полями.
Пятница, 25 марта 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В работе 2010 Поль Норбери построил дискретный аналог теории
Виттена-Концевича-Пеннера, заменив произвольные метризованные ленточные
графы на ленточные графы с натуральными длинами рёбер. Как показал Норбери,
взвешенные количества таких объектов с фиксированными наборами "периметров"
(квази)полиномиально зависят от периметров, и соответствующие полиномы несут
в себе информацию о наиболее интересных гомологических инвариантах
пространств модулей. Их свободные члены совпадают с орбиобразными эйлеровыми
характеристиками пространств модулей, а пересечения характеристических
классов тавтологических расслоений (на компактификациях Делиня- Мамфорда)
выражаются через однородные компоненты старшей степени.
В докладе будут приведены рекуррентные соотношения, определяющие
многочлены Норбери. Затем будет напомнена связь между ленточными графами и
парами Белого ^U- объектами, имеющими смысл над произвольным полем. Будет
обосновано предположение о том, что гомологии пространств модулей кривых
(над полем любой характеристики) выражаются через количества пар Белого.
Будут предъявлены вычисления для простейшего случая общей теории (кривые
рода 1 с 1 отмеченной точкой), в котором всё удалось посчитать; ответ
формулируется в терминах семейств Фрида над модулярными кривыми и
воспроизводит решение задачи Абеля (1826) о квазиэллиптических интегралах.
Доклад завершится кратким обзором недавних результатов о гомологиях
пространств модулей, полученным "подсчётом кривых" над конечными полями.
Пятница, 18 марта 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В докладе будет объяснено почему классификация вещественных клиффордовых
алгебр (Шевалле 1954) и квадратичных форм над полем из двух элементов
(Диксон 1901) совпадают между собой, а также выведены различные следствия и
обобщения этого факта.
Пятница, 11 марта 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Будет рассказан анзац для операторов Лакса многих конечномерных
интегрируемых систем
со спектральным параметром на римановой поверхности (в том числе с
рациональным спектральным параметром)
-- Хитчина, Калоджеро-Мозера, волчков и др. Этот анзац будет сформулирован
в общих терминах
произвольной полупростой комплексной алгебры Ли и ее градуировок. При этом
возникает понятие алгебры
операторов Лакса (обобщение алгебр петель, а после центрального расширения -
алгебр Каца-Муди).
Указанный анзац, также, приводит к обобщению теоремы А.Н.Тюрина о
параметризации голоморфных
векторных расслоений на римановых поверхностях.
Доклад одновременно послужит первой лекцией спецкурса на ту же тему в НМУ (по пятницам, начиная со 2 лекции -- в 15-00). Поэтому первый час доклада будет посвящен общему введению, а на втором я предполагаю начать более подробное изложение алгебр операторов Лакса.
Пятница, 26 февраля 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Будет дана интерпретация магнитной теории Блоха в терминах
некоммутативной геометрии. Иначе говоря, речь идет о ''словаре'',
позволяющем переформулировать основные свойства магнитного оператора
Шредингера в терминах $C^*$-алгебр. Приложением указанной версии
теории Блоха является интерпретация в этих терминах квантового
эффекта Холла.
Пятница, 19 февраля 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Доклад посвящен ответу на этот вопрос. В двух словах нейроогеометрия занимается
построением геометрических моделей различных систем мозга, прежде всего относящихся к
зрительной системе, являющейся наиболее изученной частью мозга. Термин был предложен
Жаном Петито в 1990 г. У истоков нейрогеометрии стояли Рене Том, Кристофер Зиман
("Топология мозга"), Алан Тюринг, Давид Марр, Жак Кован и др.
Предпосылкой к возникновения нейрогеометрии явлились работы нейрофизиологов Кафлера и Хьюбеля и Визеля (Нобелевская премия 1981 ). В настоящее время одним из лидеров является Давид Мамфорд, предложивших ряд важных идей и теорий. В отличие от нейроматематики, в которой рассматриваются дискретные модели, в нейрогеометрии строятся непрерывные модели и функционирование различных систем описывается в терминах дифференциальной геометрии и (интегро-) дифференциальных уравнений. Так первичная зрительная кора VI трактуется как сплошная среда со сложной , до конца не выясненной внутренней структурой . Мотивировкой является огромное количество нейронов мозга (10^{11}) и астрономическое количество синапсов- контактов между нейронами (10^{15}).
Как и в физике, работа зрительной системы мозга основана на принципе близкодействия, что объясняет роль дифференциальной геометрии. Зрительные нейроны воспринимают локальную информацию с небольшой области сетчатки (рецептивного поля), которая затем интегрируется в высших разделах зрительной системы.
В докладе будут кратко изложено, какая информация поступает на сетчатку и как она преобразуется с помощью конформных преобразований при движении глаз. Обсуждается проблема "стабильности", т.е. инвариантности восприятия изображения на сетчатке относительно конформных преобразований. Описывается преобразование информации в сетчатке, наружном коленчатом теле (НКЛ) и первичной зрительной коре.
Рассматривается архитектура первичной зрительной коры по Хюбелю и Визелю, сферическая модель гиперколонок, предложенная Бреслофом и Кованом , контактная и симплектическая модели коры VI , предложенные Петито и Петито-Чити-Сарти. Обсуждается унификация этих моделей и ее применение к проблеме стабильности. Никаких сведений по физиологии зрения и мозга не предполагается.
Пятница, 22 января 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Я расскажу про то, как Михалкин, считая специальные вещественные кривые на
проективной плоскости позволяет подразбить число комплексных рациональных
плоских кривых, а также про то, как это связано с некоммутативной
деформацией потенциала Флоера у лагранжевого 2-тора.
Пятница, 15 января 2016, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Известная гипотеза Виттена утверждает, что производящий ряд чисел пересечений на пространстве модулей кривых является
решением иерархии Кортевега-де Фриза. Этот производящий ряд имеет естественную однопараметрическую деформацию, задаваемую
ходжевыми интегралами. Оказывается, что деформация является решением известного обобщения иерархии Кортевега-де Фриза,
называемого иерархией уравнения двухслойной жидкости. Я обсужу этот результат, а также различные гипотезы, его обобщающие,
предложенные недавно в работе Б. А. Дубровина, Si-Qi Liu, Di Yang, Youjin Zhang.
Пятница, 18 декабря 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Я расскажу про то, как Михалкин, считая специальные вещественные кривые на
проективной плоскости позволяет подразбить число комплексных рациональных
плоских кривых, а также про то, как это связано с некоммутативной
деформацией потенциала Флоера у лагранжевого 2-тора.
Пятница, 11 декабря 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Мы устанавливаем связь между двумя объектами, возникающими в теории
уравнения Кадомцева-Петвиашвили: строго положительными грассманианами и
рациональными вырождениями М-кривых (римановыми поверхностей с
антиголоморфной инволюцией, имеющей максимально возможное число
неподвижных овалов) с набором отмеченных точек. Более точно, мы
показываем, что по крайней мере все точки внутри максимальной клетки
грассманиана получаются из вырожденных М-кривых.
Пятница, 4 декабря 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Некрасовская статсумма --- это производящая функция состоящая из
эквивариантных интегралов по многообразиям модулей пучков на CP^2.
Конформный блок может быть определен как матричный элемент произведения
сплетающих операторов для алгебры Вирасоро. АГТ соответствие утверждает,
что эти две, очень по разному определенные функции на самом деле равны.
Один из подходов к АГТ соответствию это доказать, что обе стороны удовлетворяют одним и тем же уравнениям. Про Некрасовские статсуммы такие уравнения известны -- это билинейные уравнения Накаджимы-Ёшиоки. Я расскажу как аналогичные уравнение получать в теории представлений алгебры Вирасоро.
Доклад основан на совместной работе с А. Литвиновым и Б. Фейгиным.
Пятница, 27 ноября 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Торические модели Ландау-Гинзбурга --- одно из определений зеркально
двойственных моделей для многообразий Фано, позволяющее делать эффективные вычисления. Я
напомню определение торических моделей Ландау?Гинзбурга, а также обсужу
способы их построения (на примере полных пересечений в торических
многообразиях и грассманианах) и вычисление их инвариантов, позволяющих
восстановить инварианты исходных многообразий Фано (на примере гипотезы
Кацаркова-Концевича-Пантева о зеркальных числах Ходжа, примененной к
поверхностям дель Пеццо и полным пересечениям Фано).
Пятница, 20 ноября 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Доклад посвящен явному представлению функции Грина различных конечнозонных
дискретизаций двумерного оператора Шредингера.
В первой части рассмотрена двумерная пятиточечная дискретизация оператора Шредингера на квадратной решетке. Строится функция Грина в виде интеграла по специальному контуру от дифференциалов, построенных по обобщенным спектральным данным. Построенная функция имеет асимптотику волновой функции.
Во второй части квадратная решетка обобщается до квад-графа - планарного графа, каждая грань которого является четырехугольником. Если на его гранях задана весовая функция, то через нее можно определить операторы Лапласа и Коши-Римана, которые определяют классы дискретных гармонических и дискретных голоморфных функций на квад-графе. В работе используется конечнозонный подход для построения весовой функции. Для полученного конечнозонного оператора Лапласа (Шредингера) даются достаточные условия его несингулярности, сформулированные в терминах обобщенных спектральных данных и квад-графа.
В третьей части для построенного оператора приводится функция Грина, определенная в виде интеграла по семейству контуров на спектральной кривой и имеющая асимптотику волновой функции.
Пятница, 13 ноября 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В докладе предполагается дать обзор последних результатов
И.Пенкова (ун-т Якобса, Бремен) и автора 2009-2015 гг. по классификации
однородных проективных инд-многообразий и векторных расслоений на них.
Эти результаты продолжают начатые в 70-ых гг. иследования по векторным
расслоениям на инд-проективных пространствах и инд-грассманианах,
связанные с теоремой Барта--Ван де Вена?Тюрина?Сато. Эта теорема
утверждает, что всякое векторное расслоение конечного ранга на бесконечном
комплексном проективном пространстве $\mathbf{P}^\infty$ изоморфно прямой
сумме линейных расслоений. В докладе мы сформулируем достаточные условия
на локально полное линейное инд-многообразие $\mathbf{X}$, при которых этот
же результат выполняется на $\mathbf{X}$. Затем мы опишем широкий класс
локально полных линейных инд-многообразий, для которых выполнены эти условия. С
другой стороны, будут описаны некоторые классы нелинейных инд-многообразий,
на которых векторные расслоения конечного ранга тривиальны.
Пятница, 6 ноября 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Идея деформационного квантования на конечномерном пуассоновом
многообразии состоит в том, чтобы достроить обычную операцию
ассоциативного коммутативного умножения в алгебре гладких функций на
многообразии рядом по формальному параметру ("постоянной Планка") до
ассоциативной, но не обязательно коммутативной структуры --- причём
так, чтобы линейный член этой деформации содержал заданную скобку
Пуассона (а коэффициенты при высших степенях параметра деформации
как-то зависели бы от неё --- неочевидно, почему это всегда возможно;
в 1997 году М.Концевич доказал, что в любом конечномерном случае это
действительно так).
В докладе будет объяснено, как процедуру деформационного квантования по Концевичу удаётся обобщить на класс пуассоновых геометрий теории поля --- по построению, бесконечномерных: физическое поле задаёт степень свободы в каждой точке пространства-времени; тем самым, известный ранее результат был ограничен предположением, что пространство-время сжато в точку. Роль "точек" теорполевого многообразия теперь играют конфигурации физических полей, роль "функций" -- локальные функционалы (например, действие), а вариационные пуассоновы структуры заданы дифференциальными операторами над пространством-временем. Используя язык исчисления сингулярных линейных интегральных операторов Гельфанда, я расскажу, как техника суммирования по взвешенным ориентированным графам, развитая Концевичем, напрямую обобщается до деформационного квантования пуассоновых моделей теории поля.
Доклад следует препринту IHES/M/15/13 (2015), отсылая также к статье 1312.1262 (2013) и работе 1210.0726 v3 (2014-15).
Пятница, 30 октября 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В этом докладе я хочу рассказать о прогрессе в доказательстве гипотезы,
утверждающей, что каждому классу классификации Белавина-Дринфельда
структур Пуассона-Ли на комплексной простой группе Ли G
соответствует кластерная структура в координатном кольце O(G).
Доклад основан совместных работах с М.Гехтманом и А.Вайнштейном.
Пятница, 16 октября 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Классическая теорема Абеля утверждает, что корни общего многочлена степени d
можно выразить в радикалах через его коэффициенты если и только если d меньше 5. Я
расскажу про обобщение этой теоремы на системы общих полиномиальных
уравнений, составленных из данного набора мономов: корни системы выражаются
в радикалах через коэффициенты, если и только если система имеет не более
четырех корней (то есть целочисленный объем выпуклой оболочки ее мономов не
превосходит 4, что позволяет явно классифицировать все такие системы).
Доказательство основано на анализе монодромии разветвленных накрытий с
помощью нового сложного результата из теории конечных групп. Если же
отказаться от предположения, что все уравнения системы составлены из одного
и того же набора мономов, то проблема остается открытой, т.к. текущих
достижений теории конечных групп на такую общность, видимо, не хватает.
Пятница, 25 сентября 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В докладе будет представлен обзор о категориях D-бран в
сигма-моделях и моделях Ландау-Гинзбурга. Будут описаны свойства этих
категорий, связи и соотношения между ними. Планируется рассказать про
гомологическую зеркальную симметрию и объяснить ее на различных примерах, а
также показать как некоммутативная геометрия естественным образом появляется
в контексте зеркальной симметрии.
Пятница, 11 сентября 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Классическая теорема Абеля утверждает, что корни общего многочлена степени d
можно выразить в радикалах через его коэффициенты если и только если d меньше 5. Я
расскажу про обобщение этой теоремы на системы общих полиномиальных
уравнений, составленных из данного набора мономов: корни системы выражаются
в радикалах через коэффициенты, если и только если система имеет не более
четырех корней (то есть целочисленный объем выпуклой оболочки ее мономов не
превосходит 4, что позволяет явно классифицировать все такие системы).
Доказательство основано на анализе монодромии разветвленных накрытий с
помощью нового сложного результата из теории конечных групп. Если же
отказаться от предположения, что все уравнения системы составлены из одного
и того же набора мономов, то проблема остается открытой, т.к. текущих
достижений теории конечных групп на такую общность, видимо, не хватает.
Пятница, 15 мая 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Отправная точка конструкции - это геометрическая картина вырождений
римановых поверхностей, возникающих при слиянии двух дырок (или сторон
одной и той же дырки): в результате появляются геодезические ламинации,
содержашие как замкнутые кривые, так и арки - кривые, оба конца которых
упираются в декорированные граничные каспы. Эти кривые можно отождествить
с лямбда-длинами, или с кластерными переменными. Явные координаты
появляются как специальные пределы координат сдвига. Соотношения скейна и
скобки Гольдмана для исходных геодезических функций переходят в этом
пределе в птолемеевы соотношения для арок. Если имеется хотя бы один
граничный касп, то можно установить взаимно однозначное соответствие между
координатами сдвига и лямбда-длинами (кластерными переменными).
Индуцированные квантовыми соотношениями для квантовых координат сдвига
перестановочные соотношения для лямбда длин при этом оказываются
квантовыми кластерными алгебрами Беренштейна и Зелевинского. Попутно
удается решить проблему упорядочения в выражениях для квантовых лямбда
длин.
Пятница, 24 апреля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Топологическая рекурсия - это рекуррентная процедура для отыскания членов
производящего ряда, в данном случае - для чисел Гурвица, преречиляющих
разветвленные накрытия сферы. Эта процедура была гиптетически предсказана
Бушаром и Мариньо, а затем доказана несколькими способами в разных работах.
Имеется два подхода для построения топологической рекурсии. Один основан
непосредственно на комбинаторике чисел Гурвица и уравнении склейки/резки, а
второй - на связи чисел Гурвица с числами пересечений на пространстве
модулей комплексных кривых, задаваемой формулой ELSV
(Экедал-Ландо-Шапиро-Вайнштейн). В частности, эквивалентность двух подходов
приводит к независимому доказательству формулы ELSV. Доклад основан на
совместной работе arXiv:1307.4729 [xxx.lanl.gov] с П.Дуниным-Барковским, Н.
Орантеном, С.Шадриным и Л.Шпитцем
Пятница, 17 апреля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Мы ищем решения n-го функционального уравнения Хирцебруха в формальных
рядах
и аналитических функциях. Будут представлены частные результаты для
общего
n, а также общее решение для n=2. В последнем случае будут рассмотрены
решения, соответствующие различным аналитическим функциям.
Мы опишем применения этого результата в теории родов Хирцебруха.
Представленные результаты получены совместно с В.М.Бухштабером.
Пятница, 10 апреля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Карди-Фробениусовы алгебры - это алгебраическая структура,
появляющаяся на пространстве состояний в открыто-замкнутых топологических
теориях поля. В своём докладе я расскажу, что это за алгебраическая
структура, дам мотивировки и примеры, один из которых приходит из так
называемых моделей Ландау-Гинзбурга.
Также я расскажу как устроенны полупростые Карди-Фробениусовы алгебры и как в полупростой ситуации с помощью теорий, приходяших из моделей Ландау-Гинзбурга, можно получить некоторые результаты теории особенностей.
Никаких специальных предварительных знаний от слушателей не требуется.
Пятница, 3 апреля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Кактусная группа -- это фундаментальная группа пространства модулей
вещественных стабильных рациональных кривых с отмеченным точками.
Эта группа своим определением и свойствами напоминает группу кос (в
частности, она играет ту же роль для категории кристаллов, что группа кос
для категории представлений квантовой группы). Я опишу некоторое
естественное действие кактусной группы на множестве целых точек выпуклых
многогранников типа Гельфанда-Цетлина. Это действие происходит из накрытия
пространства вещественных стабильных рациональных кривых, слой которого над
одной из точек отождествляется с целыми точками выпуклого многогранника, а
над общей точкой является множеством собственных векторов (называемых также
векторами Бете) квантовой магнитной цепочки Годена. Гипотетически,
построенное нами действие кактусной группы изоморфно ее же действию на
множестве старших элементов тензорного произведения кристаллов,
происходящему из общего формализма кограничных категорий (и это проверено в
частных случаях)
(http://arxiv.org/abs/1409.0131 [arxiv.org]).
Пятница, 20 марта 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
При включении внешнего магнитного поля в листе графена происходит
рождение электронно-дырочных пар. Их число равно спектральному потоку
гомотопии, связывающей невозмущенный (поле выключено) и возмущенный (поле
включено) решеточные гамильтонианы. Показано, что этот поток, в свою
очередь, равен потоку гомотопии оператора Дирака, аппроксимирующего
решеточный гамильтониан вблизи дираковских точек K и K' зоны Бриллюэна. Этот
последний вычисляется в топологических терминах. Более общо, мы вычисляем
спектральный поток семейства самосопряженных операторов типа Дирака с
классическими (локальными) граничными условиями на компактном римановом
многообразии с краем в предположении, что начальный и конечный операторы
семейства сопряжены автоморфизмом векторного расслоения. Доклад основан на
совместных исследованиях с М.И.Кацнельсоном.
Пятница, 13 марта 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Мы обсудим новые результаты о коммутирующих обыкновенных дифференциальных
операторах ранга два. В частности, мы укажем связь между собственными
функциями
одномерного оператора оператора Шредингера с полиномиальными потенциалами
степеней 3 и 4 и собственными функциями ранга два коммутирующих
дифференциальных
операторов. Мы также обсудим действие группы автоморфизмов первой алгебры
Вейля на
коммутирующих операторах с полиномиальными коэффициентами. Мы показываем,
что
в случае спектральных кривых рода один пространство орбит бесконечно, а
также, что
существуют гиперэллиптические спектральные кривые с бесконечным числом
орбит.
Результаты получены совместно с Б.Т.Сапарбаевой и А.Б.Жегловым.
Пятница, 6 марта 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Широкий класс квантовых R-матриц можно рассматривать как
некоммутативное (матричное) обобщение скалярных функций, используемых,
в частности, в парах Лакса классических интегрируемых систем.
Соответствующие тождества на R-матрицы дают возможность строить
многомерные обобщения линейных задач для классических интегрируемых
систем типа Калоджеро-Мозера и уравнений Пенлеве. Такие
линейные задачи схожи по структуре с уравнениями
Книжника-Замолодчикова-Бернара,
в которые добавлен спектральный параметр ?
постоянная Планка квантовой R-матрицы. Условие совместности для самих
уравнений КЗБ следует из аналога квантового уравнения
Янга-Бакстера на R-матрицы с неодинаковыми постоянными Планка.
Пятница, 27 февраля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Задача о поведении плоских сечений 3-периодических поверхностей была
поставлена С. П. Новиковым в 1982 году в связи с приложениями к теории
металлов. На сегодняшний день все интересные открытые вопросы в этой области
относятся к так называемому хаотическому случаю, когда полученная в сечении
траектория заметает плоскость, не имея явно выраженного асимптотического
направления. В частности, актуален вопрос о геометрии такого сечения,
например, насколько быстро эта кривая или семья кривых убегает на
бесконечность?
Мы обсудим как инструменты из теории динамических систем можно
использовать в этой на первый взгляд абсолютно топологической задаче. А
именно, мы рассмотрим обобщение перекладываний отрезков - системы изометрий
- и введем показатели Ляпунова для них, а потом покажем, как эти показатели
связаны со свойствами хаотической траектории. В частности, мы докажем для
специального семейства хаотических сечений, что скорость распространения
траектории по плоскости строго меньше 1 и больше половины.
Это совместная работа с Артуром Авилой (Париж) и Паскалем Юбером
(Марсель).
Пятница, 20 февраля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Hamiltonian reduction is used to project a trivially integrable system
on the Heisenberg double of $SU(n,n)$, to obtain a system of Ruijsenaars
type on a suitable quotient space. This system possesses $BC_n$ symmetry and
is shown to be equivalent to the standard three-parameter $BC_n$ hyperbolic
Sutherland model in the cotangent bundle limit.
19:00
Аннотация:
Кластерная алгебра задается с помощью ориентированного графа и позволяет
описывать алгебры функций на алгебраических многообразиях. Кластерные
алгебры появляются в геометрии, алгебре и комбинаторике, они тесно связаны с
интегрируемыми системами. В докладе будет введено понятие кластерных
супералгебр и дан ряд примеров. Комбинаторика графов становится гораздо
богаче и интереснее...
Пятница, 13 февраля 2015, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Действие алгебры фермионов на пространстве Фока позволяет
построить действие
нескольких других интересных алгебр на том же пространстве: алгебры
Гейзенберга,
алгебры Вирасоро и алгебры $gl_infty$. Бозон-фермионное соответствие
устанавливает
эквивалентность пространства Фока и пространства бозонов как модулей
алгебры
Гейзенберга, а также описывает действие алгебры фермионов на
пространстве бозонов в терминах вертексных операторов (порождающих
функций). Можно заметить, что в
конструкции этого соответствия решающую роль играют свойства,
эквивалентные тождеству
Якоби-Труди в симметрических функциях. В докладе мы обсудим описанную выше
конструкцию, покажем, как тождество Якоби-Труди общего вида может
быть использовано
для построения действия алгебры фермионов, и приведем примеры
тождеств типа Якоби-
Труди, естественно появляющиеся в различных аспектах теории представлений и
обобщениях симметрических функций.
Пятница, 12 декабря 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
RSK-соответствие (Robinson-Schensted-Knuth correspondence) это
алгоритм, задающий биекцию между неотрицательными целыми матрицами и
плоскими разбиениями. Изначально, Шенстед предложил алгоритм, задающий
биекцию между перестановками и парами стандартных таблиц Юнга
одинаковой формы. Кнут обобщил этот алгоритм с перестановок на
неотрицательные целые матрицы и установил биекцию с множеством пар
полустандарных таблиц Юнга. Робинсон раньше сделал то же самое. Эта
биекция играет важную роль в теории представлений и дает комбинаторные
аналоги двойственностей Шура-Вейля и Хоу, имеет непосредственное
отношение к мерам Шура, росту полимеров и др. В начале этого века
А.Кириллов предложил геометрическое RSK-соответствие,
а Науми и Ямада обнаружили, что геометрическое RSK-соответствие тесно
связано с дискретными уравнениями Хироты. В нашей работе с
В.И.Даниловым мы показали это в терминах октоэдральной рекурсии. В
этом году новый интерес с геометрическому RSK возник в контексте
функций Уиттекера и характеров геометрических кристаллов. После этого
краткого напоминания я расскажу, как определить RSK-соответствие на
двойных клетках Брюа алгебр Каца-Муди и
связь этого RSK с кластерным изоморфизмом колец функций на этих клетках.
Доклад по совместной работе с А.Беренштейном и А.Кирилловым.
Пятница, 5 декабря 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Это будет доклад о результатах статьи arXiv:1409.4726
и о проблеме алгоритмического распознавания квазиположительных кос.
.
Пятница, 28 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Группа Гротендика-Тейхмюллера --- одна из самых загадочных групп
в математикe. Она была введена В. Дринфельдом в контексте теории
деформаций Ли биалгебр, и нашла со времением применения в самых разных
областях математики, от теории чисел до Пуассоновой геометрии.
В совместной работе докладчика с Томасом Уилвахером и Рикардо
Кампосом обнаружено гомотопически нетривиальное действие группы
Гротендика-Тейхмюллера на Фробениусовых алгебрах и инволютивных Ли
биалгебрах --- математических структурах, допускающих обширные
приложения в математической физике и алгебраической топологии.
Пятница, 21 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Рассмотрим полиномиальное векторное поле в C^2 с комплексным временем:
? = P(x,y),
? = Q(x,y),
P и Q имеют степень n. Его фазовый портрет --- это голоморфное слоение в
С^2,
каждый лист слоения является (некомпактной) римановой поверхностью.
Множество таких слоений мы будем называть ?_n.
В типичном случае замыкание каждого листа --- всё C^2.
Мы доказали, что в ?_n плотны слоения, имеющие лист с большим количеством ручек (порядка n^2/2).
Кроме того, мы доказали, что у слоения с симметрией
P(x,y)=P(-x,y),
Q(x,y) = -Q(-x,y)
в типичном случае все листы имеют бесконечное число ручек.
Я сделаю обзор близких результатов о типичных слоениях из ?_n, и расскажу идеи доказательств наших результатов.
Пятница, 14 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В начале рассматривается матрично-модельное представление для производящей
функции чисел морфизмов Белого, чистых морфизмов Белого и двухпрофильных
морфизмов Белого. Все эти функции можно переписать в терминах ленточных
графов на римановых поверхностях и представить через соответственно
эрмитовую одноматричную модель с логарифмической добавкой в потенциал,
матричную модель Концевича-Пеннера и обобщенную модель Концевича, что еще
раз показывает, что эти модели суть тау функции иерархии КП. Далее эти
результаты обобщаются на гипергеометрические числа Гурвица с произвольным
(фиксированным) числом $n$ точек ветвления и двумя фиксированными
профилями. При некоторых ограничениях на соответствующие производящие
функции нам удается представить их в виде специальных цепочек матриц,
допускающих решение в терминах топологической рекурсии. В качестве примера
рассматривается первый нетривиальный случай $n=4$.
Пятница, 7 ноября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В первой части доклада мы обсудим, так называемые, интегрируемые
функциональные уравнения, т.е. допускающие общие аналитические решения.
Такие уравнения возникают в различных областях математики.
Во второй части в центре внимания будут функциональные уравнения,
соответствующие локализациям эквивариантных родов Хирцебруха. Мы
обсудим функциональные уравнения задающие роды Хирцебруха жесткие на
однородных пространствах компактных групп Ли.
Все необходимые определения будут даны в ходе доклада.
Пятница, 24 октября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Похоже, что "странная двойственность" Арнольда на множестве
исключительных унимодальных особенностей была первым наблюдением
эффекта, который теперь называется зеркальной симметрией. Изначально
эта двойственность формулировалась в терминах чисел Габриэлова и
Долгачева особенностей. Характеристические многочлены операторов
монодромии двойственных особенностей связаны между собой, так
называемой, двойственностью Саито. Обобщением двойственности Арнольда
является двойственность Берглунда-Хюбша-Хеннингсона
(Berglund-H?bsch-Henningson) между, так называемыми, обратимыми
многочленами. (Обратимый многочлен - это квазиоднородный многочлен от
n переменных, содержащий ровно n мономов и такой, что веса его
переменных определяются однозначно. Последнее означает, что матрица
степеней переменных в мономах невырождена.) В работах Берглунда, Хюбша
и Хеннингсона эти многочлены возникали как суперпотенциалы в зеркально
симметричных моделях Ландау-Гинзбурга. В "орбифолдной постановке"
(Берглунда-Хюбша-Хеннингсона) эта двойственность ставит в соответствие
паре, состоящей из обратимого многочлена и некоторой (конечной,
абелевой) группе его симметрий, некоторую двойственную пару. Будет
рассказано о некоторых двойственностях связанных с действиями групп
симметрий на слоях Милнора обратимых многочленов (т.е. их неособых
множествах уровня). Они включают совпадение некоторых инвариантов
орбифолдного типа и эквивариантную версию двойственности Саито.
Доклад основан на совместных работах с В.Эбелингом.
(Сокращенная версия того же доклада будет сделана утром того
же дня на конференции в Сколково.)
Пятница, 10 октября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
В работе 1995 года Н. Хитчин с помощью твисторных методов
построил новые решения уравнений Эйнштейна. Он опирался на результаты
К.Тода, который годом раньше показал, что антиавтодуальные эйнштейновы
SU(2)-инвариантные метрики на 4-мерных многообразиях при некоторых
дополнительных условиях сводятся к уравнению Пенлеве-6 на независимую
переменную, параметризующую SU(2)-орбиты. Свои решения Хитчин выразил
весьма громоздкими формулами в терминах тета-функций; связь с
геометрией семейств эллиптических кривых тогда не была им прояснена.
Однако для случая алгебраических решений Пенлеве-6 эта связь
Хитчиным же была вскрыта в работе 2004 года и оказалась выразимой в
терминах теоремы Понселе о замыкании. В докладе соответствующее
изомонодромное семейство будет предъявлено в простейшем случае, в
котором роль пространства твисторов играет проективизация пространства
кубических многочленов.
Совокупность упомянутых (и некоторых других) идей и конструкций
указывает на существование класса Эйнштейновых многообразий, имеющих
арифметическую природу и полностью описываемых детскими рисунками.
Возможно, в заключение удастся обсудить некоторые физические
спекуляции, связанные с этими многообразиями.
Пятница, 3 октября 2014, 17:00, ауд. 309
Аннотация:
Мы обсудим концепции симметрии, ко-симметрии, законов сохранения и
формальных операторов рекурсии. Будет выведен ряд необходимых условий
интегрируемости. Он приводит к интересным и пока нерешенным проблемам
разностной алгебры.
Пятница, 19 сентября 2014, 17:20, ауд. 309
Аннотация:
В докладе будет доказано, что классический синус-процесс Дайсона и,
более общо, процесс, отвечающий проектору с интегрируемым ядром,
квази-инвариантен относительно группы диффеоморфизмов прямой с
компактным носителем.
Доклад основан на препринте http://arxiv.org/pdf/1409.2068v1.pdf
Пятница, 12 сентября 2014, 17:00, ауд. 303
Аннотация:
Под статсуммой (partition function) в широком смысле в
математической физике часто подразумевают произвольный формальный
степенной ряд, обычно от бесконечного числа переменных. Коэффициенты
этого ряда могут иметь физический, комбинаторный, или
агебро-геометрический смысл. Мы рассмотрим класс таких рядов,
объединенных тем свойством, что для них выполняются так называемые
соотношения топологической рекурсии (по Чехову-Эйнару-Орантену). Этот
класс рядов включает в себе, в частности, всевозможные потенциалы
Гроова-Виттена. В докладе мы попытаемся описать геометрию, стоящую за
формальными манипуляциями топологической рекурсии. Оказывается,
пространство рассматриваемых рядов параметризуется точками
бесконечномерного лагранжева грассманиана. Отсюда следует, что это
пространство обладает большой группой симметрии: на нем действует
бесконечномерная симплектическая группа. Действие этой группы
продолжает действие Гивенталя на пространстве формальных потенциалов
Громова-Виттена.
