На главную страницу НМУ

Ю.М.Бурман

Топология, 1 семестр

Зачет

[Зачет.pdf]

Записки лекций (Lecture notes)

[Лекция 1.pdf |Лекция 1.ps |Лекция 1.zip(ps) ]
[Лекция 2.pdf |Лекция 2.ps |Лекция 2.zip(ps) ]
[Лекция 3.pdf |Лекция 3.ps |Лекция 3.zip(ps) ]
[Лекция 4.pdf |Лекция 4.ps |Лекция 4.zip(ps) ]
[Лекция 5.pdf |Лекция 5.ps |Лекция 5.zip(ps) ]
[Лекция 6.pdf |Лекция 6.ps |Лекция 6.zip(ps) ]
[Лекция 7.pdf |Лекция 7.ps |Лекция 7.zip(ps) ]
[Лекция 8.pdf |Лекция 8.ps |Лекция 8.zip(ps) ]
[Лекция 9.pdf |Лекция 9.ps |Лекция 9.zip(ps) ]
[Лекция 10.pdf |Лекция 10.ps |Лекция 10.zip(ps) ]

Семинары (Exercise sheets)

[Семинар 1.pdf |Семинар 1.ps |Семинар 1.zip(ps) ]
[Семинар 2.pdf |Семинар 2.ps |Семинар 2.zip(ps) ]
[Семинар 3.pdf |Семинар 3.ps |Семинар 3.zip(ps) ]
[Семинар 4.pdf |Семинар 4.ps |Семинар 4.zip(ps) ]
[Семинар 5.pdf |Семинар 5.ps |Семинар 5.zip(ps) ]
[Семинар 6.pdf |Семинар 6.ps |Семинар 6.zip(ps) ]
[Семинар 7.pdf |Семинар 7.ps |Семинар 7.zip(ps) ]
[Семинар 8.pdf |Семинар 8.ps |Семинар 8.zip(ps) ]

Литература:

1. А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукс, Курс гомотопической топологии, Наука, 1989.
   В этой книге есть все нужное. Но там еще много что есть, и это затрудняет поиск (например, некоторые теоремы доказаны в большей общности, чем в курсе --- соответственно, доказательства сложнее).
2. В.А.Васильев, Введение в топологию, Фазис, 1997.
   Наилучшее приближение к "стабильному учебнику по курсу", хотя программа, конечно, совпадает не полностью.
3. О.Я.Виро, О.А.Иванов, Н.Ю.Нецветаев, В.М.Харламов, Элементарная топология, МЦНМО, 2007.
   Лекционный курс Петербургского ун-та. Материал изложен очень тщательно, правда, написанная часть доходит только до фундаментальной группы (но есть клеточные пространства).
4. K.Janich, Topology, Springer, 1984.
   Good and simple, if a bit verbose.

Краткая программа курса

1. Элементарные топологические понятия.

   1)Топологическое пространство.

   Основные операции --- декартово произведение, индуцированная топология, фактортопология, надстройка, джойн. Джойн двух сфер --- сфера. Классические поверхности. Пространства орбит. Простейшие диаграммы Хегора.

   2)Связность, линейная связность.

   Определение связного пространства. Связность отрезка; линейная связность. Связность факторпространства. Теорема Брауэра в размерности $1$ и $2$, основная теорема алгебры.

   3)Компактность.

   Определение. Замкнутое подмножество компакта --- компакт. Непрерывный образ компакта --- компакт. Двойственность ``замкнутый-компактный''. Непрерывная биекция компактов --- гомеоморфизм. Группы $\pi_k(S^n)$ при $k < n$.

   4)Гомотопии и гомотопическая эквивалентность.

   Гомотопическая категория. Гомотопические группы. Фундаментальная группа окружности. Группа $\pi_n(S^n)$. Теорема Брауэра в произвольной размерности.

2. Склейки.

   1) Накрытия.

   Теорема о накрывающей гомотопии. Категория накрытий. Классификация накрытий подгруппами фундаментальной группы базы. Теорема о подгруппе свободной группы. Накрытия классических поверхностей плоскостью Лобачевского.

   2) Расслоения.

   Теорема о накрывающей гомотопии. Точная гомотопическая последовательность расслоения. Расслоение Хопфа. Касательные расслоения к классическим поверхностям. Касательные расслоения к сферам, теорема о еже.

   3) Клеточные пространства.

   Вычисление фундаментальной группы клеточного пространства. Теорема о клеточной аппроксимации. Клетки Шуберта. Группа узла.

   4) Многообразия.

   Степень отображения. Классификация поверхностей. Векторные поля на многообразиях.